江苏省泰州市2008-2009学年高三第二学期期初联考数学试题 (考试时间:120分钟总分160分) 命题人:朱占奎杨鹤云蔡德华审题人:周如才石志群注意事项:所有试题的答案均——青夏教育精英家教网——

江苏省泰州市2008～2009学年高三第二学期期初联考

数学试题

(考试时间：120分钟总分160分)

命题人：朱占奎（江苏省靖江中学）杨鹤云（江苏省泰州中学）蔡德华（泰兴市第二高级中学）

审题人：周如才（江苏省姜堰中学）石志群（泰州市教研室）

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

参考公式：

样本数据，，，的方差

其中为样本平均数

圆柱的侧面积

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知全集，，，则 ▲ ．

2．函数的最小正周期是 ▲ ．

3． ▲ ．

第4题图

5．已知下列三组条件：（1），；（2），（为实常数）；（3）定义域为上的函数满足，定义域为的函数是单调减函数．其中A是B的充分不必要条件的是 ▲ ．（填写所有满足要求的条件组的序号）

6．在等差数列中，若，则 ▲ ．

7．甲、乙两种水稻试验品种连续4年的单位面积平均产量如下：

品种

第1年

第2年

第3年

第4年

甲

9.8

9.9

10.2

10.1

乙

9.7

10

10

10.3

其中产量比较稳定的水稻品种是 ▲ ．

8．在椭圆中，我们有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 ▲ 上．

9．某算法的伪代码如图,则输出的结果是 ▲ ．

第9题图第10题图

10．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为 ▲ ．

11．若（）在上有零点，则的最小值为 ▲ ．

12．已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点（），则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．

13．已知函数的图象和函数()的图象关于直线对称（为常数），则 ▲ ．

14．设为常数（），若

对一切恒成立，则 ▲ ．

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）

15．（本小题满分14分）

已知．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，、分别为直角三角形的直角边和斜边的中点，沿将折起到的位置，连结、，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面；

（3）求证：平面．

17．（本小题满分15分）

已知直线：（为常数）过椭圆（）的上顶点和左焦点，直线被圆截得的弦长为．

（1）若，求的值；

（2）若，求椭圆离心率的取值范围．

18．（本小题满分15分）

如图，有一块四边形绿化区域，其中，，，现准备经过上一点和上一点铺设水管，且将四边形分成面积相等的两部分，设，．

（1）求的关系式；

（2）求水管的长的最小值．

19．（本小题满分16分）

已知曲线：（为自然对数的底数），曲线：和

直线：．

（1）求证：直线与曲线，都相切，且切于同一点；

（2）设直线与曲线，及直线分别相交于，记，求在上的最大值；

（3）设直线（为自然数）与曲线和的交点分别为和，问是否存在正整数，使得？若存在，求出；若不存在，请说明理由. (本小题参考数据≈2.7) ．

20．（本小题满分16分）

已知公差为正数的等差数列和公比为（）的等比数列．

（1）若，且对一切恒成立，求证：；

（2）若>1，集合，求使不等式

成立的自然数恰有4个的正整数的值．

泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考

高三数学试题附加题部分

(考试时间：30分钟总分40分)

21．[选做题]在A，B，C，D四小题中只能选做2小题，每题10分，共20分；请在答题纸上按指定要求在指定区域内作答，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

A．选修4―1　几何证明选讲

如图，圆的两条弦、相交于点．

（1）若，求证：；

（2）若，，圆的半径为3，求的长．

B．选修4―2　矩阵与变换

设数列满足，且满足，试求二阶矩阵．

C．选修4―4　参数方程与极坐标

圆和圆的极坐标方程分别为．

（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆，圆两个交点的直线的直角坐标方程．

D．选修4―5　不等式证明选讲

若，

求证：（1）；

（2）．

[必做题]第22、23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

22．某小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.

（1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；

（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望.

23．如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．

（1）求异面直线和所成的角的余弦值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的最大值、最小值．

泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1． 2．1 3．－2 4． 5．（1）（2）

6． 4 7．甲 8． 9．9 10．

11．－2 12． 13．2 14． 2

二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）

15．（本小题满分14分）

解：（1）∵

∴ …………………………………………5分

（2）∵∴

…………………………………………7分

……………………………………9分

或或7 ………………………………14分

16．（本小题满分14分）

(1)证明：E、P分别为AC、A′C的中点，

EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

∴即EP∥平面A′FB …………………………………………5分

(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

BC平面A′BC

∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………9分

(3)证明：在△A′EC中，P为A′C的中点，∴EP⊥A′C，

在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C

由(2)知：BC⊥平面A′EC 又A′A平面A′EC

∴BC⊥AA′

∴A′A⊥平面A′BC …………………………………………14分

17．（本小题满分15分）

解：（1）取弦的中点为M，连结OM

由平面几何知识，OM=1

…………………………………………3分

解得：， ………………………………………5分

∵直线过F、B ，∴则 …………………………………………6分

（2）设弦的中点为M，连结OM

则

……………………………………9分

解得 …………………………………………11分

∴ …………………………………………15分

（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）

18．（本小题满分15分）

（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2

则S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=

∵S_△APQ=，∴

∴ …………………………………………7分

（2）

=?

…………………………………………12分

当，

即，

…………………………………………15分

19．（本小题满分16分）

解（1）证：由得

在上点处的切线为，即

又在上点处切线可计算得，即

∴直线与、都相切，且切于同一点（） …………………5分

（2）

…………………7分

∴在上递增

∴当时……………10分

（3）

设上式为，假设取正实数，则?

当时，，递减；

当，，递增． ……………………………………12分

∴不存在正整数，使得

即 …………………………………………16分

20．（本小题满分16分）

解：（1），

，对一切恒成立

的最小值，又，

…………………………………………4分

（2）这5个数中成等比且公比的三数只能为

只能是，

…………………………8分

，显然成立 ……………………………………12分

当时，，

使不等式成立的自然数n恰有4个的正整数p值为3

……………………………………………16分

泰州市2008～2009学年度第二学期期初联考

高三数学试题参考答案

附加题部分

21．（选做题）（从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分．）

A．解：(1)

∴

∴AB=CD ……………………………………4分

（2）由相交弦定理得

2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴ ……………………………………10分

B．解：依题设有： ………………………………………4分

令，则 …………………………………………5分

…………………………………………7分

………………………………10分

C．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1），，由得．

所以．

即为圆的直角坐标方程． ……………………………………3分

同理为圆的直角坐标方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相减得过交点的直线的直角坐标方程为． …………………………10分

D．证明：（1）因为

所以 …………………………………………4分

（2）∵ …………………………………………6分

同理，，……………………………………8分

三式相加即得……………………………10分

22．（必做题）（本小题满分10分）

解：（1）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的, 则其概率为 …………………………………………4分

答：恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为

（2）随机变量

……………………5分

…………………………6分

………………………………7分

∴随机变量的分布列为

2

3

4

P

∴ …………………………10分

23．（必做题）（本小题满分10分）

（1），，，

，

……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一个法向量为

设平面BFC₁的法向量为

∴

取得平面BFC₁的一个法向量

∴所求的余弦值为 ……………………………………6分

（3）设（）

，由得

即，

当时，

当时，∴ ……………………………………10分