绝密★启用前
济南市2009年2月高三统一考试
数学试题(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.共150分.测试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)。
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.不能答在测试卷上.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 选择题：本大题共12个小题.每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1． 设复数
对应的点在
轴负半轴上,则实数
的值是( )．
2．如图几何体的主视图和左视图都正确的是（ ）．
3．已知
,则
的值等于( )
4．若
,则( )
5．在空间中,给出下面四个命题,则其中正确命题的个数为( )
① 过平面
外的两点,有且只有一个平面与平面垂直；
② 若平面
内有不共线三点到平面的距离都相等，则
；
③ 若直线
与平面内的无数条直线垂直，则
；
④ 两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线；
6．设集合
，集合
，如果
，则由实数
组成的集合中所有元素的和与积分别为
和 
和 和 
和
7．函数
的曲线如图所示，那么函数
的曲线是
8．对某种有
件正品和
件次品的产品进行检测，任取件，则其中一件是正品，另一件为次品的概率为
9．设
是双曲线
的两个焦点，
在双曲线上，若
，
为半焦距），则双曲线的离心率为
10．在
中，
，面积为
，则
11．已知
，那么“
”是“
”的
充要条件 必要不充分条件 充分不必要条件 既不充分也不必要条件
12．定义在
上的函数
满足
，当
时，单调递增，如果
，且
，则
的值为
恒小于 恒大于 可能为 可正可负
绝密★启用前
济南市2009年2月高三统一考试
数学试题(理工类)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项：
1. 第Ⅱ卷共4页,必须使用0.5毫米的的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用2B铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、 填空题：本大题共4个小题.每小题4分；共16分；把答案填在题中横线上.
13．下面的程序框图表示的算法的结果是＿＿＿＿＿＿＿＿
14．已知数列
中，
，则
＿＿＿＿＿＿＿
15．由曲线
和
围成图形的面积为＿＿＿＿＿＿－
16．已知过点
的直线与抛物线
仅有一个交点，则满足该条件的直线共有＿＿＿＿＿条．
三、 解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分)
已知函数
，且
，
．
（１）求实数
的值；
（２）求函数的最大值及取得最大值时
的值；
18．(本小题满分12分)
盒子中放了
个乒乓球，其中
个是新球，个是旧球（即至少用过一次的球），每次比赛，都拿出其中个球用，用完后全部放回．
（1）设第一次比赛取出的两个球中新球的个数为
，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）求第二次比赛任取球都是新球的概率．
19．(本小题满分12分)
已知等差数列的前四项的和为
，第二项与第四项的和为
，等比数列
的前四项的和为
，第二项与第四项的和为
．
（１）求数列，的通项公式；
（２）设
，则数列
中的每一项是否都是数列中的项，给出你的结论，并说明理由．
20．(本小题满分12分)
如图，直三棱柱
中，是等腰直角三角形，且
，为
中点，
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的大小．
21．(本小题满分12分)
已知平面上一定点
和一定直线
，为该平面上一动点，作
，垂足为
，且
，
（1）求点的轨迹方程；
（2）点
是坐标原点，过点的直线与点的轨迹交于
两点，求
的取值范围．
22．(本小题满分14分)
设
，函数
，其中
是自然对数的底数，
（1）判断在上的单调性；
（2）当
时，求在
上的最小值．
济南市2009年2月高三统一考试
一、 选择题：1. A 2. B 3. D 4. B 5. A 6. A 7. C 8. C 9. D 10. C
11. C 12. B
二、 填空题：13. 7；14. 111；15. 323；16. 3
三、 解答题：
17. 解：(1) ∵f(0)=8，
∴
………………2分
即
∴
………………………6分
(2) 由(1)知：
…………………7分
……………………8分
…………………9分
………………………10分
∴
，此时
(k∈Z)………………………11分
即
(k∈Z）时，.……………………………12分
18. 解：(1) 
，
…3分
∴分布列为：
0
1
2
………………………………………………5分
∴
……………………………7分
(2) 
……………………12分
19. 解：(1) 设数列
的前n项和为
，由题意知：
即?
，两式相减可得：
………………………2分
∴
(n∈
)…………………………4分
设数列
的前n项和为
，由题意知：
，即
两式相除可得：
，则
………………………6分
∴
(n∈)………………………8分
(2) 假设存在，则
，
为正整数.
故存在p，满足
………………12分
20. 解法一：(1) 连结
交BD于F.
∵D为
中点，
，
∴
，
Rt△BCD∽Rt△
，∴∠
=∠CDB，
∴
⊥BD………………2分
∵直三棱柱
中，平面ABC⊥平面
，
又AC⊥BC，∴AC⊥平面，∴AC⊥BD，
AC∩=C，BD⊥平面
，∴
⊥BD…………………4分
又在正方形
中，⊥
…………………………………5分
∴⊥平面
.……………………………6分
(2) 设与交于点M，AC=1，连结AF、MF，
由(1)知BD⊥平面，∴MF⊥BD，AF⊥BD，
∴∠AFM是二面角A-BD-
的平面角………………………9分
在Rt△AFB中，AB=
，BF=
，∠AFB
= 90°，
∴AF=
，又
，∠AMF
= 90°，∴sin∠AFM=
，∴∠AFM=
，
故二面角A-BD-的大小为.…………………………12分
方法二：直三棱柱中，∠ACB=90°，
以C为原点O，CB、、CA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，设AC=2，
则B(2,0,0)，
,
,A(0,0,2),D(0, ,0)…………………2分
(1) 
，
，
，
，
，…………………4分
∴⊥BD，⊥
，又∩BD=D，
∴⊥平面；……………………………6分
(2) 由(1)知⊥平面，且，…8分
设
，且
⊥
，⊥
∵
,，
∴
,
，即2x-2z=0，-2x+2y=0，令x=1，
得平面ABD的一法向量
，………………10分
又，∴
，
∴二面角
的大小为.…………………………………12分
21. 解：(1) 设P(x,y)代入
得点P的轨迹方程为
.……5分
(2) 设过点C的直线斜率存在时的方程为
，且A(
),B(
)在上，则由代入得
.…………………6分
∴
，
.
∴
.………………8分
令
，∴＝
.…8分
∵
≥0，∴
≤
＜0，∴
.………………10分
当过点C的直线斜率不存在时，其方程为x=-1，解得
,
.此时
.11分
所以
的取值范围为
.………………12分
22. 解:(1) 
……3分
∵
＞0.以下讨论函数
的情况.
① 当a≥0时，
≤-1＜0，即
＜0.
所以
在R上是单调递减的.…………………………5分
② 当a＜0时，
的两根分别为
且
＜
.
在（-∞, ）和（,+∞）上＞0，即＞0.
所以函数的递增区间为（-∞, ）和（,+∞）；
同理函数f(x)的递减区间为（，）.………………9分
综上所述：当a≥0时，在R上是单调递减的；
当a＜0时，在（-∞, ）和（,+∞）上单调递增，
在（，）上是单调递减的.………………………10分
(2) 当-1＜a＜0时，
＜1, =
＞2,………12分
∴当x∈［1,2］时，是单调递减的.………………13分
∴
. ………………………………14分