江西师大附中.鹰潭一中.宜春中学.临川一中.南昌三中五校联考数学试卷命题人:李小昌黄鹤飞审题人:蔡卫强——青夏教育精英家教网——

江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、临川一中、南昌三中五校联考数学（理科）试卷学科网(Zxxk.Com)

命题人：李小昌黄鹤飞审题人：蔡卫强学科网(Zxxk.Com)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的序号填入答题卡上的相应空格内。）学科网(Zxxk.Com)

1．（）

2．在复平面内，复数对应的点位于（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3．函数在点处连续，则的值是（）

A．2 B． C．3 D．

4．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（　　）

A． B．2 C． D．4

5．如果等于（　　）

A．2 B． C．1 D．3

6．将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有（）

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

7．已知，则数列的最小值为（　　）

A． B． C． D．

8．在半径为的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（　　）

A． B． C． D．

2,4,6

A． B．

C． D．

10．如图，直线MN与双曲线的左右两支分别交于M、N两点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又，则实数λ的取值为（　　）

A． B．1 C．2 D．

11．若对可导函数，当时恒有，若已知是一锐角三角形的两个内角，且，记则下列不等式正确的是（　　）

A． B．

C． D．

12．已知函数．规定：给定一个实数，赋值，若，则继续赋值，…，以此类推，若≤244，则，否则停止赋值，如果得到称为赋值了n次．已知赋值k次后该过程停止，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题卡上。）学科网(Zxxk.Com)

13．数列满足,则=______________.

14．已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值是_________。

15．在约束条件下,当时，目标函数的最大值的变化范围是＿＿＿＿＿＿＿．

16．给出下列命题：

A．函数和的图象关于直线对称。

B．在上连续的函数若是增函数，则对任意均有成立。

C．已知函数的交点的横坐标为的值为；

D．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。

E．若为双曲线上一点，、分别为双曲线的左右焦点，且，则或

其中正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿（把所有正确的命题的选项都填上）

三、解答题：（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）学科网(Zxxk.Com)

17.（本小题满分12分）

在中，分别为角的对边，且满足

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的最小值．

18.（本小题满分12分）

2008年5月12日，四川汶川发生8.0级特大地震，通往灾区的道路全部中断. 5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）、陆路（东南和西北两个方向各一支队伍）和空中（一支队伍）同时向灾区挺进．在5月13日，仍时有较强余震发生，天气状况也不利于空中航行. 已知当天从水路抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是，从空中抵达灾区的概率是．

（Ⅰ）求在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率；

（Ⅱ）求在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望.

19.（本小题满分12分）

设数列和满足且数列

是等差数列，数列是等比数列.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）是否存在，使？若存在，求出；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分12分）

如图，在三棱柱中，侧面，已知

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若，求二面角的平面角的正切值.

21.（本小题满分12分）

如图，已知直线与抛物线相切于点P（2，1），且与轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.

（Ⅰ）若动点M满足，求动点M的轨迹C；

（Ⅱ）若过点B的直线（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

22.（本小题满分14分）

设函数，其中为常数．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；

（Ⅲ）若,试利用（II）求证：n3时，恒有。

2009届师大附中、鹰潭一中高三联考

一、选择题 1--5 DDCBA 6--10 ADBCA 11-12 AB

二、填空题 13． 14．12 15． 16．AC

三、解答题

17.解：（Ⅰ），

，

．，

，．

（Ⅱ）由余弦定理，得　．

，．

所以的最小值为，当且仅当时取等号．

18、（Ⅰ）解法一：依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且．…………………………………… 2分

在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

. ……………… 5分

解法二：在5月13日恰有1支队伍抵达灾区的概率是

　　　　　 .……………………………………………………………… 5分

（Ⅱ）依据题意，因为队伍从水路或陆路抵达灾区的概率相等，则将“队伍从水路或陆路抵达灾区”视为同一个事件. 记“队伍从水路或陆路抵达灾区”为事件C，且B、C相互独立，而且.

设5月13日抵达灾区的队伍数为，则=0、1、2、3、4. ……………… 6分

由已知有：；………………………………… 7分

；………………………… 8分

；………………… 9分

；……………………… 10分

. ………………………………………………… 10分

因此其概率分布为：

0

1

2

3

4

P

……………… 11分

所以在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望为：

=0×+ 1× + 2× + 3×+ 4×=.

答：在5月13日抵达灾区的队伍数的数学期望=. ……………… 12分

19.（I）由已知a₂－a_１=－2, a₃－a₂=－1, －1－（－2）=1 ∴a_n₊₁－a_n=（a₂－a₁）+（n－1）?1=n－3

n≥2时，a_n=（ a_n－a_n_－₁）+（ a_n_－₁－a_n_－₂）+…+（ a₃－a₂）+（ a₂－a₁）+ a₁

=（n－4）+（n－5） +…+（－1）+（－2）+6 =

n=1也合适. ∴a_n= （n∈N*） ……………………3分

又b₁－2=4、b₂－2=2 .而 ∴b_n－2=（b₁－2）?（）ⁿ^－¹即b_n=2+8?（）ⁿ

∴数列{a_n}、{b_n}的通项公式为：a_n= ，b_n=2+（）ⁿ^－³…………… 6分

（II）设

当k≥4时为k的增函数，－8?（）^k也为k的增函数，…………… 8分

学科网(Zxxk.Com) 而f（4）= ∴当k≥4时a^k－b^k≥………………10分

又f（1）=f（2）=f（3）=0 ∴不存在k，使f（k）∈（0，）…………12分

20、证（Ⅰ）因为侧面，故

在中，由余弦定理有

学科网(Zxxk.Com) 故有

而且平面

……………… 4分

（Ⅱ）由

从而且故

不妨设，则，则

又则

在中有从而（舍去）

故为的中点时，……………… 8分

法二：以为原点为轴，设，则

由得

即

化简整理得或

当时与重合不满足题意

当时为的中点

故为的中点使……………… 8分

（Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点

连则，连则，连则

连则，且为矩形，

又故为所求二面角的平面角……………… 10分

学科网(Zxxk.Com) 在中，

……………… 12分

法二：由已知，所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角……………… 10分

因为

故 ……………… 12分

21.解：（I）由， ∴直线l的斜率为，

故l的方程为，∴点A坐标为（1，0）……… 2分

设则，

由得

整理，得……………………4分

∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆 …… 5分

（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k（x－2）（k≠0）①

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，

由△>0得0<k²<. ……………… 6分

设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）,则 ②……………………………7分

令，

由此可得……………… 8分

由②知

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.

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）.…………12分

22解：（1）由题意知，的定义域为，

…… 2分

当时，，函数在定义域上单调递增． … 3分

（2） ①由（Ⅰ）得，当时，,函数无极值点．……………… 5分

②当时，有两个不同解，

时，，,

此时，随在定义域上的变化情况如下表：

减

极小值

增

由此表可知：时，有惟一极小值点， …… 7分

ii）当时，0<<1 此时，，随的变化情况如下表：

增

极大值

减

极小值

增

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；…9分

综上所述：当时，有惟一最小值点；

当时，有一个极大值点和一个极小值点

…….10分

（3）由（2）可知当时，函数，此时有惟一极小值点

且 …… 9分

…… 11分

令函数 …… 12分

…14分