云南省2009届高三第一次统一检测数学试题本试卷分第I卷和第II卷两部分.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回.满分150分.考试用时150分钟. 第Ⅰ卷注意事项: 1．答题前.考生务必用黑色碳素——青夏教育精英家教网——

云南省2009届高三第一次统一检测

数学试题（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时150分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立，那么

P(A?B)=P(A)?P(B) 其中R表示球的半径

如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式

P，那么n次独立重复试验中事件A恰

好发生k次的概率其中R表示球的半径

本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1．已知x、y都是实数，下列集合中，恰有2个元素的集合是（）

A． B．

C． D．

2．已知（）

A． B． C． D．

3．若A、B是锐角△ABC的两上内角，则点在（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

y-c-y

A．4 B．6 C．8 D．10

5．已知一个棱长为2a的正方体的八个顶点都在球O的球面上，则球O的体积、表面积分别为（）

A． B．

C． D．

6．已知时，下列不等式，正确的是（）

A． B． C． D．

7．用数学归纳法证明不等式时，在证明这一步时，需要证明的不等式是（）

A．

B．

C．

D．

8．已知偶函数上是减函数，如果的取值范围是（）

A． B．（―2，2） C． D．

9．等于（）

A．―∞ B．1 C． D．

10．已知点P在的面积的m倍，那么m= （）

A． B． C．4 D．2

11．已知等于（）

A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：13

12．计算（）A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13．函数处的切线方程为。

14．已知实数x、y满足的最大值等于。

15．如果在数列，对任何正整数n，等式都成立，

那么的值等于。

16．设b，c，m是空间的三条不同直线，α，β，γ是空间的三个不同平面，在下面给出的四个命题中：

①若； ②若；

③若； ④若。

其中正确命题的序号为。（把你认为正确的命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知向量

（I）若；

（II）当的最小正周期T。

18．（本小题满分12分）

已知是实数.

（I）当取得极小值时，求实数x的值；

（II）当的最大值。

（II）当的取值范围。

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P―ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB。

（I）求证：PA//平面BDE；

（II）求证：PB⊥平面DEF；

20．（本小题满分12分）

已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的x个红球和4个黑球。现在先从甲盒内一次随机取2个球，再从乙盒内一次随机取出2个球，甲盒内每个球被取到的概率相等，乙盒内每个球被取到的概率也相等。已知取出的4个球都是黑球的概率为

（I）求乙盒内红球的个数x；

（II）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

21．（本小题满分12分）

已知双曲线S的中心是原点O，离心率为的焦点是双曲线S的一个焦点，直线交于A、B两个不同点。

（I）求双曲线S的方程；

（II）当以AB为直径的圆经过原点O时，求实数k的值。

22．（本小题满分12分）

已知对任何正整数n，等式都成立。

（I）求数列通项公式；

（II）求T_n；

（III）设

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1―5 DABBA 6―10 DDCCB 11―12 AC

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13． 14． 15． 16．②④

三、解答题：本大题共6小题，满分70分。

17．（本小题满分10分）

（I）解：

时，

………………2分

………………4分

，

………………5分

（II）解：

18．（本小题满分12分）

（I）解：

（II）解：

由（I）知：

（III）解：

19．（本小题满分12分）

解法一：

（I）证明

如图，连结AC，AC交BD于点G，连结EG。

∵ 底面ABCD是正方形，

∴ G为AC的中点．

又E为PC的中点，

∴EG//PA。

∵EG平面EDB，PA平面EDB，

∴PA//平面EDB ………………4分

（II）证明：

∵ PD⊥底面ABCD，∴PD⊥BC，PD⊥DC，PD⊥DB

又∵BC⊥DC，PD∩DC=D，

∴BC⊥平面PDC。

∴PC是PB在平面PDC内的射影。

∵PD⊥DC，PD=DC，点E是PC的中点，

∴DE⊥PC。

由三垂线定理知，DE⊥PB。

∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，

∴PB⊥平面EFD。 …………………………8分

（III）解：

∵PB⊥平面EFD，

∴PB⊥FD。

又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，

∴∠EFD就是二面角C―PB―D的平面角。………………10分

∵PD=DC=BC=2，

∴PC=DB=

∵PD⊥DB，

由（II）知：DE⊥PC，DE⊥PB，PC∩PB=P，

∴DE⊥平面PBC。

∵EF平面PBC，

∴DE⊥EF。

∴∠EFD=60°。

故所求二面角C―PB―D的大小为60°。 ………………12分

解法二：

如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），P（0，0，2） ………………1分

（I）证明：

连结AC，AC交BD于点G，连结EG。

∵ 底面ABCD是正方形，

∴ G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）。

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∴PA//平面EDB ………………4分

（II）证明：

（III）解：

∵PB⊥平面EFD，

∴PB⊥FD。

又∵EF⊥PB，FD∩EF=F，

∴∠EFD就是二面角C―PB―D的平面角。………………10分

∴∠EFD=60°。

故所求二面角C―PB―D的大小为60°。 ………………12分

20．（本小题满分12分）

（I）解：

设 “从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件相互独立，所以取出的4个球均为黑球的概率为

………………2分

依题设，

故乙盒内红球的个数为2。 ……………………5分

（II）解：由（I）知

ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

P

………………10分

………………12分

21．（本小题满分12分）

（I）解：由题意设双曲线S的方程为 ………………2分

c为它的半焦距，

（II）解：

22．（本小题满分12分）

（I）解：

（III）解：

（III）解：

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