湖南省郴州市2009年高三第三次教学质量监测数学试题(文)——青夏教育精英家教网——

湖南省郴州市2009年高三第三次教学质量监测

数学试题（文）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

1．已知集合则下列结论正确的是（）

A． B．

C． D．

2．已知等于（）

A．0 B．－1 C．2 D．1

3．“x>1”是“”成立的（）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．的最大值和最小正周期分别是（）

A． B．2，2π C．，2π D．1，2π

5．已知实数，满足约束条件则的取值范围是（）

A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，1]

6．设恒成立，那么（）

A． B．a>1 C． D．a<1

7．若的展开式中的二项式系数之和为256，则展开式中x⁴的系数为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

C（0，1），映射f 将xOy 平面上的点P（x，y）对应到另一

个平面直角坐标系uo′v 上的点P′（2xy，x² ? y²），则当点

P 沿着折线A―B―C 运动时，在映射f 的作用下，动点P′的

轨迹是（）

二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分，请把答案填在题中横线上）

9．函数的反函数是 .

20090401

11．从颜色不同的5 个球中任取4 个放入3 个不同的盒子中，要求每个盒子不空，则不同的

放法总数为____________. （用数字作答）

12．设是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：

①若；

②若；

③若l上有两点到的距离相等，则l//；

④若.

其中正确命题的序号是____________.

13．已知函数是R 上的偶函数，且在（0，+）上有（x）> 0，若f（－1）= 0，那么关于x的不等式x f（x）< 0 的解集是____________.

14．设向量若直线沿向量平移，所得直线过双曲线的右焦点，

（i）=

（ii）双曲线的离心率e= .

15．对正整数n，设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为，

（i）=

（ii）数列的前n项和S_n=

三、解答题（本大题共6 个小题，共75 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. ）

16．（本小题满分12 分）

已知函数的最大值为1.

（1）求常数a 的值；

（2）求的单调递增区间；

（3）求≥ 0 成立的x 的取值集合.

17．（本小题满分12 分）

从甲地到乙地一天共有A、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0.7，B 班车正点到达乙地的概率为0.75。

（1）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到

达的概率（答案用数字表示）。

（2）有两位游客分别乘坐A、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1 人正点到达的概

率（答案用数字表示）。

18．（本小题满分12 分）

已知{ }是整数组成的数列，a₁ = 1，且点在函数的图象上，

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若数列{}满足 = 1，，求证：

19．（本小题满分13 分）

如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和PB 是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN 和PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。

（1）求证：MN//平面PBD；

（2）求证：AQ⊥平面PBD；

（3）求二面角P―DB―M 的大小．

20090401

已知椭圆的右焦点F 与抛物线y²= 4x 的焦点重合，短轴长为2. 椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F 的直线与椭圆相交于A、B 两点，点C 在右准线l 上，BC//x 轴.

（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；

（2）求证：线段EF被直线AC 平分.

21．(本题满分13 分)

已知函数

（1）若在的图象上横坐标为的点处存在垂直于y 轴的切线，求a 的值；

（2）若在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a 取值范围；

（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的

图象与函数的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m 的值；若不存在，说

明理由.

一、选择题（每小题5 分，共40 分）

DACDA DBA

二、填空题（每小题5 分，共35分）

9． 10．400 11．180 12．②④

13． 14．（i）（3分）（ii）（2分）

15．（i）（3分）；（ii）（2分）

16．（1）

当

……………………4分

（2）令 ………………6分

解得：

所以，的单调递增区间是…………8分

（3）由，……………………10分

所以，

解得：

所以，的取值集合……12分

17．解：（1）坐A 班车的三人中恰有2 人正点到达的概率为

P₃（2）= C0.7²×0.3¹ = 0.441 ……………………（6 分）

（2）记“A 班车正点到达”为事件M，“B 班车正点到达冶为事件N

则两人中至少有一人正点到达的概率为

P = P（M?N）+ P（M?）+ P（?N）

= 0.7 ×0.75 + 0.7 ×0.25 + 0.3 ×0.75 = 0.525 + 0.175 + 0.225 = 0.925 （12 分）

18．解：由已知得

所以数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；（2分）

即=1+…………………………4分

（2）由（1）知 ……………………6分

…………………………8分

……………………10分

所以：…………………………12分

19．解：M、N、Q、B的位置如右图示。（正确标出给1分）

（1）∵ND//MB且ND=MB

∴四边形NDBM为平行四边形

∴MN//DB………………3分

∴BD平面PBD，MN

∴MN//平面PBD……………………4分

（2）∵QC⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

∴BD⊥QC……………………5分

又∵BD⊥AC，

∴BD⊥平面AQC…………………………6分

∵AQ面AQC

∴AQ⊥BD，同理可得AQ⊥PB，

∵BDPD=B

∴AQ⊥面PDB……………………………8分

∵在正方体中，PB=PB

∴PE⊥DB……………………10分

∵四边形NDBM为矩形

∴EF⊥DB

∴∠PEF为二面角P―DB―M为平面角………………11分

∵EF⊥平面PMN

∴EF⊥PF

设正方体的棱长为a，则在直角三角形EFP中

∵

∴

…………………………13分

解法2：设正方体的棱长为a，

以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图：

则点A（a,0，0），P（a,0,a），Q（0,a,a）…………9分

∴………………10分

∵PQ⊥面DBM，由（2）知AQ⊥面PDB

∴分别为平面PDB、平面DBM的法向量

……………………12分

∴

∴………………13分

20．解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为……1分

的焦点为F（1，0）

……………………3分

所以，椭圆的标准方程为

其离心率为 ……………………5分

（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，

∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则

若AB垂直于x轴，则A（1，y₁），B（1，－y₁），C（2，－y₁）

∴AC的中点为

∴线段EF的中点与AC的中点重合，

∴线段EF被直线AC平分，…………………………6分

若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为

则…………………………7分

把

得 ………………8分

则有………………9分

∴

……………………10分

∵

∴

∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，

∴线段EF被直线AC平分。………………………………13分

21．解：（1）依题意，

…………………………3分

（2）若在区间（―2，3）内有两个不同的极值点，则方程在区间（―2，3）内有两个不同的实根，

但a=0时，无极值点，

∴a的取值范围为……………………8分

（3）在（1）的条件下，a=1，要使函数的图象恰有三个交点，等价于方程，

即方程恰有三个不同的实根。

=0是一个根，

应使方程有两个非零的不等实根，

由………………12分

存在的图象恰有三个交点…………………………13分