2009 年 湖 南 省 六 校 联 考
湖南师大附中 长沙市一中 常德市一中 株洲市二中 湘潭市一中
数学试题（理科）
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．集合
（ ）
A．M B．N C．{0，1，2} D．{1}
2．复数
（a为实数）在复平面上对应的点位于第一象限，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在等差数列
中，
则此数列前的20项之和等于
（ ）
A．50 B．60 C．70 D．80
4．若动直线
与函数
的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 （ ）
A．
B．1
C．2 D．3
5．设双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为 （ ）
|
的值等于（ ）
的公比为q，且有
，则首项x1的取值范围是（ ）
B．
D．
（常数a>0）的函数
和
的图象如图所示，给出下列四个命题
有且仅有三个解； 
有且仅有九个解；
有且仅有一个解；
，且a=669b，则n=
.
上的抛物线的标准方程是
.
与0的大小关系为
.
在区间[―1，2]上是减函数，则b+c的最大值是
.
得到一个数c，使称c为“湘数”，现有数1和4，①按上述规则操作三次后得到的最大“湘数”为61；②2010不是“湘数”；③c-1总能被2整除；④c-1总能被10整除，其中正确的说法是
.（写出所有满足要求的序号）.
的大小.
。若可通 过的信息量
ABD和
。
（
）处植一棵树，其中
（a＞1，i＞1，2，…），
规定
。 
An；
，若
为正三角形.
作直线l交椭圆C于M、N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程；
面积的最大值.
上的两个函数
的图象在点
处的切线倾斜角的大小为
的解析式；
恒成立；
，
12．
14．3 
15．②③
是以角C为直角的直角三角形.……………………6分
中
………………①
………………②
，
……………………12分
……………………………………（2分）
……………………………………………………（4分）
。………………………（6分）
的所有可能取值为4，5，6，7，8。
……………………………………………………………（9分）
的分布列为
ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO
。………………………………………………………………………（2分）
AOC中，AC=
，∴AO2+CO2=AC2，
OC=O，∴AO⊥平面BCD。…………………………………………………（3分）
AEO中，AO=
，
∠
，
∵VO-ACD=VA-OCD，
。
。
。
。…………………（12分）
=(0,0,
)。…………………………………………（5分）
，
。设
与
，
。
。…………………………………………（8分）
又
。………………………………（11分）
与
夹角为
，则
,
.
…共线，该直线过点P1（a,a），
……………………3分
时，An是一个三角形与一个梯形面积之和（如上图所示），梯形面积是
…………………………7分
，……………………10分
，
……………………13分
，
为正三角形，
……………………2分
），N（
），
得，
……………………4分
………………6分
且满足上述方程，
………………7分
…………………………9分
……………………10分
面积的最大值为
…………………………13分
……………………3分
＞
＞
＞0,
≥
≥
≥
…（5分）
……………………7分
，
；………………9分
再三式作和即得
……………………13分