山东省文登三中2009届高三第三次月考
数学（理科）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．若等比数列
的前五项的积的平方为1024，且首项
，则
等于
A．
B．
C．2 D．
2．已知条件
：
，条件
：
，则条件是条件的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．在正四面体
中，二面角
的余弦值为
A．
B．
C．
D．
4．若
展开式的系数之和为729，则展开式的常数项为第（ ）项
A．2 B．
5．在
中，
，则角
=
A．
B．
C．或 D．或
6．从6双规格各不相同的鞋子中任意取出6只，其中至少有2双鞋子的概率是
A．
B．
C．
D．
7．若
是
与
的等比中项，则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
8．设
满足
，则
=
A．
B． C． D．1
9．定义域为
的函数
满足
，且
为偶函数，则
A．是周期为4的周期函数 B．是周期为8的周期函数
C．是周期为12的周期函数 D．不是周期函数
10．在四边形中，
，
，则
的值为
A．0 B．
C．4 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．复数
的虚部为__________。
12．已知
满足
，则函数
的最小值是__________。
13．若函数
的值域为
，则实数的取值范围是__________。
14．在数列中，若
，则该数列的通项
=__________。
15．（参考数据：
，
，
，）设随机变量
服从正态分布
，则概率
等于______________。
16．已知椭圆
的左右焦点分别为
，以
为焦点，椭圆
的左准线
为准线的抛物线与椭圆相交，点
是其中一个交点，并且
，则
等于______________。
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
17．（本小题满分13分，其中（1）小问6分，（2）小问7分）
（1）已知
，求
的值；
（2）已知
，求函数
的值域。
18．（本小题满分13分，其中（1）小问5分，（2）小问8分）
甲、乙两袋中装有大小相同的红球和白球，甲袋装有3个红球，4个白球；乙袋装有3个红球，3个白球。现从甲、乙两袋中各任取2个球，记取得的红球个数为。
（1）求随机变量的分布列；
（2）求随机变量的期望
和方差
。
19．（本小题满分13分，其中（1）小问4分，（2）小问4分，⑶小问5分）
在
中，
，
分别为
边上的点，
。沿
将
折起（记为
），使二面角
为直二面角。
（1）当
点在何处时，
的长度最小，并求出最小值；
（2）当
与平面
所成的角
的内切球的半径
。20．（本小题满分13分，其中（1）小问4分，（2）小问4分，）（3）小问5分）
已知函数
的导函数为
，
。
（1）当
时，求函数的单调区间；
（2）若对满足
的一切的值，都有
，求实数
的取值范围；
（3）若
对一切
恒成立，求实数的取值范围。
21．（本小题满分12分，其中（1）小问6分，（2）小问6分）
过点
作倾斜角为
的直线，交抛物线：
于
两点，且
成等比数列。
（1）求的方程；
（2）过点
的直线
与曲线交于
两点。设
，
与
的夹角为
，求证：
。
22．（本小题满分12分，其中（1）小问3分，（2）小问3分，（3）小问6分）
已知数列中，
。
（1）求证：数列
是等比数列；
（2）求的通项公式；
（3）设的前
项和为
，求证：
。
山东省文登三中2009届高三第三次月考
一、DDBCD CABCA
二、11．1；
12．
； 13．
14．
； 15．
；
16．
三．解答题（本大题共6小题，共76分）
17．解：（1）法一：由题可得
；
法二：由题
，
故
，从而
；
法三：由题
，解得
，
故，从而。
（2）
，令
，
则
，
在
单调递减，
故
，
从而
的值域为
。
18．解：（1）
的可能取值为0,1,2,3,4，
，
，
，
，
。
因此随机变量的分布列为下表所示；
0
1
2
3
4
（2）由⑴得：
，
19．法一：（1）连接
，设
，则
。
因为
，所以
，故
，从而
，
故
。
又因为
，
所以
，当且仅当
取等号。
此时
为
边的中点，
为
边的中点。
故当为边的中点时，
的长度最小，其值为
（2）连接
，因为此时
分别为
的中点，
故
，所以
均为直角三角形，
从而
，所以
即为直线
与平面
所成的角。
因为
，所以
即为所求；
（3）因，又
，所以
。
又
，故三棱锥
的表面积为
。
因为三棱锥的体积
，
所以
。
法二：（1）因
，故
。
设
，则
。
所以
，
当且仅当
取等号。此时为边的中点。
故当为的中点时，的长度最小，其值为；
（2）因，又，所以。
记点到平面的距离为
，
因，故
，解得
。
因
，故
；
（3）同“法一”。
法三：（1）如图，以
为原点建立空间直角坐标系，设，则
，
所以，当且仅当取等号。
此时为边的中点，为边的中点。
故当为边的中点时，的长度最小，其值为；
（2）设
为面的法向量，因
，
故
。取
，得
。
又因
，故
。
因此
，从而
，
所以；
（3）由题意可设
为三棱锥的内切球球心，
则
，可得
。
与（2）同法可得平面
的一个法向量
，
又
，故
，
解得
。显然
，故
。
20．解：（1）当
时，
。令
得
，
故当
时
，单调递增；
当
时
，单调递减。
所以函数的单调递增区间为
，
单调递减区间为
；
（2）法一：因
，故
。
令
，
要使
对满足
的一切
成立，则
，
解得
；
法二：，故。
由
可解得
。
因为
在
单调递减，因此
在单调递增，故
。设
，
则
，因为
，
所以
，从而
在单调递减，
故
。因此
，即。
（3）因为
，所以
即
对一切
恒成立。
，令
，
则
。因为，所以
，
故
在
单调递增，有
。
因此
，从而
。
所以
。
21．解：（1）设
，则由题
，
由
得
，故
。
又根据
可得
，
即
，代入可得
，
解得
（舍负）。故的方程为
；
（2）法一：设
，代入得
，
故
，
从而
因此
。
法二：显然点是抛物线的焦点，点
是其准线
上一点。
设为的中点，过
分别作的垂线，垂足分别为
，
则
。
因此以为直径的圆与准线相切（于点
）。
若与重合，则
。否则点在
外，因此
。
综上知。
22．证明：（1）因
，故
。
显然
，因此数列
是以
为首项，以2为公比的等比数列；
（2）由⑴知
，解得
；
（3）因为
所以
。
又
（当且仅当
时取等号），
故
。
综上可得
。（亦可用数学归纳法）