2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分. 共150分. 考试时间120分钟. 第I卷参考公式: 如果事件A.B互斥.那么P 如果事件A.B相互独立——青夏教育精英家教网——

2004年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

文本框: 球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径，
球的体积公式
V= ，
其中R表示球的半径参考公式：

如果事件A、B互斥，那么

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么

P（A?B）=P（A）?P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

P_n(k)=CP^k(1－P)ⁿ^－k

一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共60。

（2）已知函数（A）b （B）－b （C）（D）－

（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|= （A）（B）（C）（D）4

（4）函数的反函数是（A）y=x²－2x+2(x<1) （B）y=x²－2x+2(x≥1)

（C）y=x²－2x (x<1) （D）y=x²－2x (x≥1)

（5）的展开式中常数项是（A）14 （B）－14 （C）42 （D）－42

（6）设A、B、I均为非空集合，且满足AB I，则下列各式中错误的是

（7）椭圆的两个焦点为F₁、F₂，过F₁作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=

（A）（B）（C）（D）4

（8）设抛物线y²=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是

（A）[－，] （B）[－2，2] （C）[－1，1] （D）[－4，4]

（9）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度

（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度

（10）已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则等于

（A）（B）（C）（D）

（11）从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为

（A）（B）（C）（D）

（12）的最小值为（A）－（B）－（C）－－（D）+

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

（13）不等式|x+2|≥|x|的解集是 .

（14）由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为 .

（15）已知数列{a_n}，满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+(n－1)a_n_－1(n≥2)，则{a_n}的通项

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

1, n=1,

a_n= ,n≥2.

（16）已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是 .

①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线

③同一条直线 ④一条直线及其外一点

在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.

（17）（本小题满分12分）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

求函数的最小正周期、最大值和最小值.

（18）（本小题满分12分）

一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

（19）（本小题满分12分）

已知求函数的单调区间.

（20）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥 P―ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.

（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小.

（21）（本小题满分12分）

设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.

（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：

（II）设直线l与y轴的交点为P，且求a的值.

（22）（本小题满分14分）

已知数列，且

a_2k=a_2k_－1+(－1)^k,

a_2k+1=a_2k+3^k,

其中k=1,2,3,…….

（I）求a₃, a₅；

（II）求{ a_n}的通项公式.

2004年普通高等学校招生全国统一考试

一、选择题

（1）D （2）B （3）C （4）B （5）A （6）B

（7）C （8）C （9）B （10）A （11）D （12）B

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

（13）{x|x≥－1} （14）x²+y²=4 （15）（16）①②④

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.

解：

所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

（18）本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.

解：P(ξ=0)=0.5²×0.6²=0.09.

P(ξ=1)= ×0.5²×0.6²+ ×0.5²×0.4×0.6=0.3

P(ξ=2)= ×0.5²×0.6²+×0.5²×0.4×0.6+ ×0.5²×0.4²=0.37.

P(ξ=3)= ×0.5²×0.4×0.6+×0.5²×0.4²=0.2

P(ξ=4)= 0.5²×0.4²=0.04

于是得到随机变量ξ的概率分布列为：

ξ

0

1

2

3

4

P

0.09

0.3

0.37

0.2

0.04

所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.

（19）本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分.

解：函数f(x)的导数：

（I）当a=0时，若x<0，则<0，若x>0,则>0.

所以当a=0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.

（II）当

由

所以，当a>0时，函数f(x)在区间（－∞，－）内为增函数，在区间（－，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；

（III）当a<0时，由2x+ax²>0，解得0<x<－,

由2x+ax²<0，解得x<0或x>－.

所以当a<0时，函数f(x)在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－）内为增函数，在区间（－，+∞）内为减函数.

（20）本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE?sin60°=，

即点P到平面ABCD的距离为.

（II）解法一：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA.

.连结AG.

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小为 .

解法二：如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小为π－arctan.

（21）（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.

解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解.消去y并整理得

（1－a²）x²+2a²x－2a²=0. ①

双曲线的离心率

（II）设

由于x₁+x₂都是方程①的根，且1－a²≠0，

（22）本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.

解：（I）a₂=a₁+(－1)¹=0,

a₃=a₂+3¹=3.

a₄=a₃+(－1)²=4,

a₅=a₄+3²=13,

所以，a₃=3,a₅=13.

(II) a_2k+1=a_2k+3^k

= a_2k_－1+(－1)^k+3^k,

所以a_2k+1－a_2k_－1=3^k+(－1)^k,

同理a_2k_－1－a_2k_－3=3^k^－1+(－1)^k^－1,

……

a₃－a₁=3+(－1).

所以(a_2k+1－a_2k_－1)+(a_2k_－1－a_2k_－3)+…+(a₃－a₁)

=(3^k+3^k^－1+…+3)+[(－1)^k+(－1)^k^－1+…+(－1)],

由此得a_2k+1－a₁=(3^k－1)+[(－1)^k－1],

于是a_2k+1=

a_2k= a_2k_－1+(－1)^k

=(－1)^k^－1－1+(－1)^k

=(－1)^k=1.

{a_n}的通项公式为：

当n为奇数时，a_n=

当n为偶数时，