湖北省2009届高三八校联考第二次
理科数学试卷
鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 华师一附中 荆州中学 襄樊四中 襄樊五中 孝感高中 命题人：襄樊五中 刘 军 何宇飞
审题人：襄樊四中尹春明
考试时间：2009.3.27下午15：00～17：00
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 
成立的充要条件是（ ）
2. 设复数
，
（
），若
为实数，则
等于（ ）
3. 已知
、
是不共线的向量，
，
（
、
），则
、
、
三点共线的充要条件是（ ）
4. 设映射
是实数集
到实数集
的映射，若对于实数
，
在中不存在原象，则的取值范围是（ ）
5. 等差数列
中，
是其前
项和，
，
，则
的值为（ ）
6. 已知函数
（
）（其中
是自然对数的底数）的反函数为
，则有（ ）
7. 要从
名女生和
名男生中选出
名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）
8. 半径为
的球面上有、、三点，其中点与、两点间的球面距离均为
，、两点间的球面距离均为
，则球心到平面
的距离为（ ）
9. 已知函数
（
，）对定义域内的任意，都满足条件
，若
，
，则有（ ）
10. 已知
，若方程
的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则（ ）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 设实数、
满足
，则
的取值范围是__________.
12. 设
是
的展开式中项的系数（
、
、
、…），则
_____________.
13. 已知函数
为偶函数，且满足不等式
，则的值为_____________.
14. 在
中，
，以点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在
边上，且这个椭圆过、两点，则这个椭圆的焦距长为_____________.
15. 设
、
、
依次是
的角、、所对的边，若
，且
，则
_____________.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
已知向量
，
（，
）.函数
，
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为，且过点
.
（Ⅰ）求函数
的表达式；
（Ⅱ）当
时，求函数的单调区间。
17．（本小题满分12分）
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；
（Ⅱ）用
表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望
.
18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱
各棱长都为，为棱
上的动点。
（Ⅰ）试确定
的值，使得
；（Ⅱ）若
，求二面角
的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点
到面
的距离。
19．（本小题满分12分）
已知函数
.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若
对满足
的任意实数恒成立，求实数的取值范围（这里是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数、、、
，恒有
.
20．（本小题满分13分）
如图，已知曲线
与抛物线
的交点分别为、，曲线
和抛物线
在点处的切线分别为
、
，且、的斜率分别为
、
.
（Ⅰ）当
为定值时，求证
为定值（与
无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线与轴的交点为
，当
取得最小值
时，求曲线和的方程。
21．（本小题满分14分）
已知数列中，
，
，其前项和满足
.令
.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若
，求证：
（
）；（Ⅲ）令
（
），求同时满足下列两个条件的所有的值：①对于任意正整数，都有
；②对于任意的
，均存在
，使得
时，
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
11. 
；
12. 
；
13．
或
或
； 14.
； 15．
.
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16．（本小题满分12分）
已知向量
，
（
，
）.函数
，
的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为
，且过点
.
（Ⅰ）求函数
的表达式；
（Ⅱ）当
时，求函数的单调区间。
【解】（Ⅰ）
…………3′
由题意得周期
，故
.…………4′
又图象过点，∴
即
，而，∴
，∴
………6′
（Ⅱ）当时，
∴当
时，即
时，是减函数
当
时，即
时，是增函数
∴函数的单调减区间是
，单调增区间是
…………12′
17．（本小题满分12分）
在某社区举办的《2008奥运知识有奖问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲回答这道题对的概率是
，甲、丙两人都回答错的概率是
，乙、丙两人都回答对的概率是
.
（Ⅰ）求乙、丙两人各自回答这道题对的概率；
（Ⅱ）用
表示回答该题对的人数，求的分布列和数学期望
.
【解】（Ⅰ）记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、
、
，则
，且有
，即
∴
，
.…………6′
（Ⅱ）由（Ⅰ）
，
.
的可能取值为：
、、
、
.
则
；
；
；
.…………9′
∴的分布列为
的数学期望
.…………12′
18．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱
各棱长都为
，为棱
上的动点。
（Ⅰ）试确定
的值，使得
；（Ⅱ）若
，求二面角
的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点
到面
的距离。
【法一】（Ⅰ）当时，作在
上的射影. 连结
.
则
平面
，∴
，∴是的中点，又
，∴
也是
的中点，
即
. 反之当时，取
的中点
，连接
、
.
∵
为正三角形，∴
. 由于为的中点时，
∵
平面
，∴
平面，∴
.……4′
（Ⅱ）当时，作在上的射影. 则
底面.
作在
上的射影
，连结
，则
.
∴
为二面角的平面角。
又∵，∴
，∴
.
∴
，又∵
，∴
.
∴
，∴的大小为
.…8′
（Ⅲ）设到面的距离为
，则
，∵，∴
平面
,
∴
即为点到平面的距离，
又
，∴
.
即
，解得
.即到面的距离为
.……12′
【法二】以为原点，为
轴，过点与垂直的直线为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，
设
，则
、
、
.
（Ⅰ）由
得
，
即
，∴
，即为的中点，
也即时，.…………4′
（Ⅱ）当时，点的坐标是
. 取
.
则
，
.
∴
是平面的一个法向量。
又平面的一个法向量为
.
∴
，∴二面角
的大小是
.……8′
（Ⅲ）设到面的距离为，则
，∴到面的距离为.…12′
19．（本小题满分12分）
已知函数
.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若
对满足
的任意实数恒成立，求实数
的取值范围（这里
是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数、
、
、
，恒有
.
【解】（Ⅰ）
∴的增区间为
，减区间为
和
.
极大值为
，极小值为
.…………4′
（Ⅱ）原不等式可化为
由（Ⅰ）知，时，
的最大值为
.
∴
的最大值为
，由恒成立的意义知道
，从而
…8′
（Ⅲ）设
则
.
∴当
时，
，故
在
上是减函数，
又当、、、是正实数时，
∴
.
由的单调性有：
，
即
.…………12′
20．（本小题满分13分）
如图，已知曲线
与抛物线
的交点分别为、，曲线
和抛物线
在点处的切线分别为
、
，且、的斜率分别为
、
.
（Ⅰ）当
为定值时，求证
为定值（与
无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线与轴的交点为
，当
取得最小值
时，求曲线和的方程。
【解】（Ⅰ）设点的坐标为
，
由
得：
则
，∴
…………2′
由
得
，∴ 
…………4′
∴
又∵
，
，∴
.
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