标号为的球各一个的概率；

   （2）若第一次从盒子里任取个球，放回后，第二次再任取个球，假设取出每个球的可

        能性都相同，记第一次与第二次取出球的标号之和为，求随机变量的分布列和

        均值．

19．（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面

    ，，是的中点．

   （1）证明 //平面；         

   （2）求二面角的平面角的余弦值；

   （3）在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论．

20．（本小题满分12分）是首项的等比数列，且，，成等差数列，

   （1）求数列的通项公式；

   （2）若，设为数列的前项和，若对一切恒

        成立，求实数的最小值．

21．（本题满分12分）已知函数，设．

   （1）求在内的最小值；

   （2）是否存在实数，使得函数的图象与的图象

        恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．

22．（本题满分14分）已知双曲线的两个焦点为，为动点，若

    ．

   （1）求动点的轨迹的方程；

   （2）求的最小值；

   （3）设点，过点作直线交轨迹于两点，判断的

        大小是否为定值？并证明你的结论．

参 考 答 案

1．【解析】C ，故 ．

2．【解析】C ，．

3．【解析】B ．

4．【解析】B  ，

   可得，故，二项展开式的第三项等于

   ．

5．【解析】D 这个空间几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．根据图中数据知道这个圆

   台的上底面半径是，下底面半径是，高为，母线长是，其表面积是两个半圆，

   圆台侧面积的一半，和一个轴截面的面积之和．故

   ．

6．【解析】 D 即，由正弦定理，故，又，

   故或，故或，

   因此的面积为或．

7．【解析】C  已知条件即，故．

8．【解析】B 输入，输出的是．

9．【解析】A  当为偶数时，对任意正偶数恒成立，只要；

   当为奇数时，对任意正奇数恒成立，只要．故

   ．答案Ａ．

10．【解析】B 在双曲线中，在抛物线中这个距离等于其到准线的距离，故

    ，即，即，即．

11．【解析】C ，在中，

    ，，故得，解得或．

12．【解析】 B  ∵前排中间个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排个，后排个．

   （1）两人一个前排，一个后排，方法数为；（2）两人均在后排，共种，还

    需排除两个相邻的情况，即；（3）两人均在前排，又分两类：（i）

    两人一左一右，为，（ii）两人同左或同右时，，综上，不同排法

    的种数为．

13．【解析】 设扇形周长为，半径为，则弧长，扇形的面积是

    ，等号当且仅当时成立，此时扇

    形的弧长为，故此时扇形的圆心角为弧度，点落在内的概率是

    ．

14．【解析】  如图所示，该区域的面积是和曲

    边梯形的面积之和，故所求区域的面积是

    ．

15．【解析】或．如图，只有当直线与

    轴的交点在线段上，或是直线位于点及其上方时，

    区域才可能构成三角形，故或．

16．【解析】   由于

    推测当时，有

    所以

    ．

    又，所以．

17．【解析】（1）因为，所以，即，  （2分）

    即，即，即，（4分）

    所以．                   （ 6分）

   （2）由，由正弦定理得，

    ∴，

    ∴，

    ∵，∴，且，

    ∴，．              （ 9分）

    ∴，．因为 ．

    所以函数的取值范围是．                              （12分）

18．【解析】（1）设从盒子里一次任取3个球，取出的三个球中标号为的球各一个的概

    率为,则=．                           （4分）

   （2）由题意可得，随机变量的取值分别是．

              （10分）

    故随机变量的分布列为

2

3

4

5

6

8

0．09

0．24

0．16

0．18

0．24

0．09

    　　（12分）

19．【解析】（1）以为坐标原点，分别以射线所在直线为轴的正方向

    建立空间直角坐标系，设，则，，，

    ，，，． （2分）

设 是平面的一个法向量，

    则由  得，取得．

    ∵ ，，又平面，

    所以平面． （5分）

   （2）由（1）知是平面的一个法向量，又是平面

    的一个法向量． 

    设二面角的平面角为，由图可知

    ∴

    故二面角的余弦值为． （8分）

   （3）∵∴（9分）

    假设棱上存在点，使平面，设，

    则，

    由得，

    ∴，此时， （11分）

    即在棱上存在点，，使得平面．（12分）

20．【解析】（1）当时，,不成等差数列       （1分）

    当时，  ，∴ ， 

    ∴，∴，   （4分）∴．   （5分）

   （2），  （6分）

    ，    （7分）

    ，（8分）

    ，∴，∴，  （10分）

    又，∴的最小值为．   （12分）

21．【解析】（1） ）， 则   ， （1分）

    因为, 所以当时，对恒成立，

    故在内单调递减， 而在处连续 ， 所以

    ，（3分）

    当时，时，时，所以在内

    单调递减，在内单调递增，所以． （5分）

    综上所述，当时，，当时，（6分）

   （2）若的图象与的图

    象恰有四个不同交点，  即有四个不同的根，

    亦即 有四个不同的根．（8分）

    令，

    则．

    当变化时的变化情况如下表：

的符号

的单调性

    由表格知：．（10分）

    画出草图和验证可知，当时，

    与恰有四个不同的交点．

    当时，函数的图象与的图象恰好有

    四个不同的交点．    （12分）

22．【解析】（1）解：依题意双曲线方程可化为则

    点的轨迹是以为焦点的椭圆，其方程可设为由

    得则所求椭圆方程为，

    故动点的轨迹的方程为． （4分）

   （2）设,则由，可知

    在中（6分）

    又即

    当且仅当时等号成立．故的最小值为．   （8分）

   （3）当与轴重合时，构不成角，不合题意．

    当轴时，直线的方程为，代入解得、的坐标分别为

    、   而，∴，

    猜测为定值． （10分）

    证明：设直线的方程为，由  ，得

    ∴, (11分)

    ∴

    ∴ 为定值．(与点不重合) ．（14分）