Question

今年9月29日，天宫一号成功发射，标志着我国迈向了空间站时代．天官一号沿椭圆轨道运行，近地点离地面高度h₁=300km，远地点离地高度h₂=347kn．若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，求：（结果均用符号表示，不作数字计算）
（1）环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最小周期；
（2）天宫一号运行周期．

Answer 1

分析：（1）环绕地球近地面做匀速圆周运动的卫星万有引力提供向心力列出等式，在地球表面重力等于万有引力列出等式，两式结合求解．
（2）由开普勒第三定律

R3

T2

=K求得天宫一号运行周期．

解答：（解：（1）设地球质量为M，轨道半径等于地球半径的近地卫星周期为T₁
在地球表面重力等于万有引力列出等式，

GMm′

R2

=m′g                      ①
环绕地球近地面做匀速圆周运动的卫星万有引力提供向心力列出等式，

GMm

R2

=

m?4π2R

T 2 1

               ②
由①②解得T₁=2π

R g

               
（2）设天宫一号周期为T₂，天宫一号沿椭圆轨道运行，近地点离地面高度h₁=300km，远地点离地高度h₂=347kn．
如果把天宫一号绕地球的运动看成是圆周运动，那么轨道半径r≈

h1+h2

2

+R
由开普勒第三定律

R3

T2

=K得

T 2 1

T 2 2

=

R3

( h1+h2+2R 2 )3

解得   T₂=

π(h1+h2+2R)

R

h1+h2+2R 2g

            
答：（1）环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最小周期是2π

R g

；
（2）天宫一号运行周期是

π(h1+h2+2R)

R

h1+h2+2R 2g

．

点评：本题中隐含条件地球表面的重力等于万有引力，根据万有引力提供向心力，能写出万有引力和向心力的关系就能正常求解．