Question

如图所示，一不计重力的带正电的粒子，经过U₀=200V的电压加速后（加速电场未画出），沿两平行金属板A、B间的中心线RD垂直电场线飞入扳间的电场中．粒子飞出电场后进入界面MN、PS间的无电场区域．已知A、B板长L=8cm，板间距离d=8cm，A板比B板电势高300V，两界面MN、PS相距为12cm，D是中心线RD与界面PS的交点．粒子电荷量q=10^-10C，质量m=10^-20kg．求：
（1）求粒子进入AB板间时的初速度v₀和粒子穿过界面MN时偏离中心线RD的距离y₁；
（2）粒子到达PS界面时离D点的距离y₂为多少？
（3）当粒子经过PS线时，在图中的O点固定一负点电荷，使粒子恰好可以绕O点做匀速v₀周运动，求在O点固定的负点电荷的电量为多少？（静电力常数k=9.0×10⁹N?m²/C²，保留两位有效数字）

Answer 1

分析：（1）由动能定理可得进入AB的初速度．
带电粒子垂直进入匀强电场后，只受电场力，做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动．由牛顿定律求出加速度，由运动学公式求出粒子飞出电场时的侧移h．
（2）由几何知识求解粒子穿过界面PS时偏离中心线RO的距离．
（3）由运动学公式求出粒子飞出电场时速度的大小和方向．粒子穿过界面PS后将绕电荷Q做匀速圆周运动，由库仑力提供向心力，由几何关系求出轨迹半径，再牛顿定律求解Q的电量．

解答：解：（1）由动能定理可得：
qU0=

1

2

mv02
解得：
v0=

2qU0 m

=

2×10-10×200 10-20

m/s=2×106m/s
粒子穿过界面MN时偏离中心线RO的距离（侧向位移）：
y1=

1

2

at2
其中：
a=

qU′

md

在偏转电场中，水平方向：
L=v₀t
由以上三式可得：
y1=

1

2

qU′

md

(

L

v0

)2=

1

2

×

10-10×300

10-20×0.08

×(

0.08

2×106

)2=0.03m=3cm
（2）
带电粒子在离开电场后将做匀速直线运动，其轨迹与PS线交于a，设a到中心线的距离为Y．         
又由相似三角形得：

y1

y2

=

1 2 L

1 2 L+b

解得：
y₂=4y₁=0.12m
（3）带电粒子到达a处时，带电粒子的水平速度：v_x=υ₀=2×10⁶m/s 
竖直速度：所以 υ_y=at=1.5×10⁶m/s，
v_合=

v02+vy2

=

(2×106)2+(1.5×106)2

=2.5×10⁶m/s          
该带电粒子在穿过界面PS后将绕点电荷Q作匀速圆周运动．所以Q带负电．根据几何关系，速度方向与水平方向夹角为：
tanα=

vy

v0

=

1.5×106

2×106

=

3

4

半径为：
r=

y2

cosα

=

0.12

0.8

m=0.15m
由圆周运动可得：
k

qq′

r2

=m

v2

r

解得：
q′=

mv2r

kq

=

10-20×(2.5×106)2×0.15

9×109×10-10

=1×10^-8C
答：
（1）求粒子进入AB板间时的初速度v₀和粒子穿过界面MN时偏离中心线RD的距离为3cm．
（2）粒子到达PS界面时离D点的距离y₂为0.12m．
（3）当粒子经过PS线时，在图中的O点固定一负点电荷，使粒子恰好可以绕O点做匀速v₀周运动，求在O点固定的负点电荷的电量为1×10^-8C．

点评：本题是类平抛运动与匀速圆周运动的综合，分析粒子的受力情况和运动情况是基础．难点是运用几何知识研究圆周运动的半径．