Question

14．飞船绕火星做匀速圆周运动，离火星表面的高度为H，飞行了n圈，所用的时间为t．已知火星半径为R，求：
（1）火星表面的重力加速度g；
（2）在火星上发射卫星，则其“第一宇宙速度”多大？

Answer 1

分析 （1）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律求出火星的质量；火星表面的物体受到的重力等于万有引力，应用万有引力公式可以求出重力加速度．
（2）万有引力提供向心力，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）飞船做圆周运动的周期：T=$\frac{t}{n}$，
万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{（R+H）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+H），解得：M=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+H）^{3}}{G{t}^{2}}$，
万有引力等于重力，即：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+H）^{3}}{{t}^{2}{R}^{2}}$；
（2）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：v=$\frac{2πn（R+H）}{t}$$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$
答：（1）火星表面的重力加速度g为$\frac{4{π}^{2}{n}^{2}（R+H）^{3}}{{t}^{2}{R}^{2}}$；
（2）在火星上发射卫星，则其“第一宇宙速度”为$\frac{2πn（R+H）}{t}$$\sqrt{\frac{R+H}{R}}$．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，考查了求重力加速度、第一宇宙速度问题，知道万有引力等于重力、万有引力提供向心力是解题的前提与关键，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．