Question

14．如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O点，二者夹角θ=30°，在MO右侧存在电场强度为E，方向竖直向上的匀强电场，MO左侧某个区域存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，O点在磁场的边界上．现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸内以速度v（$0≤v≤\frac{E}{B}$）垂直于MO从O点射入磁场，所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向右，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子距PQ的最大距离；
（2）速度最大的粒子自O开始射入磁场至返回水平线PQ所用的时间；
（3）磁场区域的最小面积．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运用洛伦兹力提供向心力与临界几何结合即可求解速度最大的粒子距PQ的最大距离；
（2）画出粒子运动轨迹的示意图，分过程分别求解粒子在磁场中运动的时间t₁，粒子出磁场做匀速运动的时间t₂，以及粒子在电场中做类平抛运动的时间t₃，将三段时间加和即可；
（3）画出各种速度入射粒子的轨迹过程图，运用几何思维分析磁场区域的最小面积．

解答 解：（1）粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，粒子在匀强磁场中运动时间为t₁

根据题意粒子速度：v=$\frac{E}{B}$ ①
洛伦兹力提供向心力得：$qvB=m\frac{v^2}{R}$ ②
几何关系可得：x_max=R（1+sinθ） ③
联立①②③式得：x_max=$\frac{3mE}{{2q{B^2}}}$
（2）根据周期公式可得：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$ ④
粒子在磁场中运动的时间：t₁=$\frac{1}{3}$T ⑤
设粒子自N点水平飞出磁场，出磁场后应做匀速运动至OM，设匀速运动的距离为s，匀速运动的时间为t₂，
由几何关系知：s=$\frac{R}{tanθ}$ ⑥
t₂=$\frac{s}{v}$ ⑦
过MO后粒子做类平抛运动，设运动的时间为t₃，则：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}$$\frac{Eq}{m}{t}_{3}^{2}$  ⑧
则速度最大的粒子自O进入磁场至重回水平线POQ所用的时间：t=t₁+t₂+t₃ ⑨
联立①②④⑤⑥⑦⑧⑨式得：t=$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$
（3）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，
故磁场范围的最小面积△S是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积．

扇形OO′N的面积S=$\frac{1}{3}π{R}^{2}$
△OO′N的面积为：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}$R²
又△S=S-S′
解得：△S=$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{{m}^{2}E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$
答：（1）速度最大的粒子距PQ的最大距离为$\frac{3mE}{{2q{B^2}}}$；
（2）速度最大的粒子自O开始射入磁场至返回水平线PQ所用的时间为$\frac{2（3\sqrt{3}+π）m}{3qB}$；
（3）磁场区域的最小面积为$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{{m}^{2}E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的匀速圆周运动以及在偏转电场中的类平抛运动，在磁场中运用洛伦兹力提供向心力与几何关系联立去解决，电场中的类平抛运动运用运动的合成和分解与牛顿定律以及运动学规律结合的思路去解决；解题的关键是要画出粒子运动的过程图．