Question

3．“嫦娥三号”于2013年12月12日在中国西昌卫星发射中心由长征三号乙运载火箭送人太空，并陆续开展了“观天、看地、测月”的科学探测和其它预定任务．若该月球车在地球表面的重力为G₁，在月球表面的重力为G₂，已知地球半径为R₁，月球半径为R₂，地球表面处的重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）

• A． 地球与月球的质量之比$\frac{{G}_{1}{R}_{1}^{2}}{{G}_{2}{R}_{2}^{2}}$
• B． 月球表面处的重力加速度为$\frac{{G}_{1}}{{G}_{2}}g$
• C． 月球车内的物体处于完全失重状态
• D． 地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{2}}{{G}_{2}{R}_{1}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力得出地球和月球质量的表达式，从而得出质量之比．抓住质量不变，根据重力的表达式求出重力加速度之比．根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表达式，结合质量之比和半径之比求出第一宇宙速度之比．

解答 解：A、根据${G}_{1}=\frac{G{M}_{地}m}{{{R}_{1}}^{2}}$得，地球的质量${M}_{地}=\frac{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}{Gm}$，根据${G}_{2}=\frac{G{M}_{月}m}{{{R}_{2}}^{2}}$得，月球的质量${M}_{月}=\frac{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}{Gm}$，则地球质量和月球质量之比$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}$，故A正确．
B、根据G=mg得，重力加速度之比为$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}$，可知月球表面的重力加速度为$\frac{{G}_{2}}{{G}_{1}}g$，故B错误．
C、月球车在地球表面和月球表面不是处于完全失重状态，故C错误．
D、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因为地球质量和月球质量之比$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{{G}_{1}{{R}_{1}}^{2}}{{G}_{2}{{R}_{2}}^{2}}$，则第一宇宙速度之比为$\sqrt{\frac{{G}_{1}{R}_{1}}{{G}_{2}{R}_{2}}}$，故D错误．
故选：A．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．