Question

如图所示，质量为M的木板长为L，木板的两个端点分别为A、B，中点为O，木板置于光滑的水平面上并以v₀的水平初速度向右运动．若把质量为m的小木块（可视为质点）置于木板的B端，小木块的初速度为零，最终小木块随木板一起运动．小木块与木板间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．求：
（1）小木块与木板相对静止时，木板运动的速度；
（2）从小木块放上木板到它与木板相对静止的过程中，木板运动的位移；
（3）小木块与木板间的动摩擦因数μ的取值在什么范围内，才能使木块最终相对于木板静止时位于OA之间．

Answer 1

（1）小木块在木板上滑动直至相对静止的过程中系统动量守恒，设相对静止时共同速度为v，则
      Mv₀=（M+m）v…①
解得   v=

M

M+m

v0…②
（2）从小木块放上木板到它与木板相对静止的过程中，设木板运动的位移为x，对木板应用动能定理得
   -f?x=

1

2

Mv2-

1

2

M

v

20

…③
又 f=μN=μmg…④
解得  x=

M(2M+m) v 20

2μg(M+m)2

（3）设小木块恰好相对静止在A点，对系统由能量守恒和功能关系可得：
   f?L=

1

2

M

v

20

-

1

2

(M+m)v2…⑤
由①、④、⑤三个方程解得μ=

M v 20

2gL(M+m)

设小木块恰好相对静止在O点，对系统由能量守恒和功能关系可得：
f?

L

2

=

1

2

M

v

20

-

1

2

(M+m)v2…⑥
由①、④、⑥三个方程解得μ′=

M v 20

gL(M+m)

所以要使木块m最终滑动到OA之间，μ值应取为

M v 20

gL(M+m)

≥μ≥

M v 20

2gL(M+m)

答：
（1）小木块与木板相对静止时，木板运动的速度是

M

M+m

v0；
（2）从小木块放上木板到它与木板相对静止的过程中，木板运动的位移是

M(2M+m) v 20

2μg(M+m)2

；
（3）小木块与木板间的动摩擦因数μ的取值在

M v 20

gL(M+m)

≥μ≥

M v 20

2gL(M+m)

范围内，才能使木块最终相对于木板静止时位于OA之间．