Question

6．如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直，一质量为2m，电阻为R的金属杆开始时被卡环卡在导轨上处于静止状态，现有一质量为m的绝缘油泥从离杆上高为h处无初速自由下落，撞到杆上并立刻粘在一起，在油泥落到杆上前瞬间，卡环被释放，此后发现电流表的示数逐渐增大，直到杆下落H高度时，示数开始稳定，设上述运动过程中，杆与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻，已知磁感应强度的大小为B，求：
（1）杆和油泥刚开始一起下落时的加速度a；
（2）在杆下落H高度的过程中，感应电流产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动规律知泥块碰到杆时的速度，根据动量定理知碰撞后共同速度，对它们受力分析，根据牛顿运动定律列式求解加速度；
（2）根据平衡条件知3mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$解末速度，根据能量守恒定律知Q=2mgH+mg（H+h）$-\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$-△E．

解答 解：（1）下落h的速度为v₁=$\sqrt{2gh}$
m撞到杆上并立刻粘在一起，后速度为v₂，
根据动量定理知mv₁=（m+2m）v₂
v₂=$\frac{1}{3}\sqrt{2gh}$
因为碰撞损失的机械能为△E=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$$•3m{v}_{2}^{2}$=$\frac{2}{3}mgh$
切割磁感线产生的感应电流使导体棒受安培力
F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
根据牛顿运动定律知a=$\frac{3mg-F}{3m}$=g-$\frac{F}{3m}$=g-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{3MR}$=g-$\frac{{\sqrt{2gh}B}^{2}{L}^{2}}{9MR}$
（2）在杆下落H高度，杆开始匀速运动，
根据平衡条件知3mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$①
根据能量守恒定律知2mgH+mg（H+h）$-\frac{1}{2}（2m+m）{v}^{2}$=Q+△E②
由①②知Q=3mgH+$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）杆和油泥刚开始一起下落时的加速度为g-$\frac{{\sqrt{2gh}B}^{2}{L}^{2}}{9MR}$；
（2）在杆下落H高度的过程中，感应电流产生的热量Q=3mgH+$\frac{1}{3}$mgh-$\frac{27{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 此题考查牛顿运动定律、动量定理、能量守恒定律在电磁感应中的应用，稳定时受力平衡，题目难度适当．