Question

10．如图所示，竖直放置的平行金属板A、B，板间距离为L，板长为2L，A板内侧中央O处有一个体积不计的放射源，在纸面内向A板右方均匀地以等大的速率朝各个方向辐射正离子，离子质量m=8.0×10^-26kg，离子电荷量q=8.0×10^-19C，离子的速率v₀=2.0×10⁵m/s，不计极板边缘处及离子重力的影响，则：
（1）若U_AB=0，则打到B板上的离子占总离子数的几分之几？
（2）若使所有离子都能打到B板，则U_AB至少为多大？
（3）若使所有离子都不能打到B板，则U_BA至少为多大？
（4）若打到B板的离子只占总离子数的$\frac{37}{90}$，则U_BA是多大？（已知sin37°=$\frac{3}{5}$）

Answer 1

分析 （1）放射源在纸面内向A板右方均匀地以等大的速率朝各个方向辐射正离子，所以向某一方向辐射的离子数与此方向的夹角成正比． 由几何关系求出放射源与AB所成的夹角，此夹角占离子源辐射角180°的比例就是打到B板上的离子数点总离子的比例．
（2）考虑临界情况，沿平行于极板方向射出的离子做类平抛运动刚好打到B点，由类平抛运动规律求出加速度，从而求出了极板间的电压．
（3）考虑特殊情况，若垂直于极板方向的离子做匀减速直线运动恰恰到达B板速度为零，由动能定理求出电压．
（4）已知了离子数的占比，则已知了辐射角点平角的比例，也就是已知了离子初速度方向与极板的夹角，此时离子做斜抛运动，由斜抛运动的规律就能求出极板间的电压．

解答 解（1U_AB=0，离子做匀速直线运动，O点与板两端连线的夹角：$θ=2arctan\frac{L}{L}=90°$  
   打到B板上的离子占总离子数的比值：$\frac{N}{{N}_{总}}=\frac{θ}{180°}=\frac{90°}{180°}=\frac{1}{2}$   
（2）若平行于A板的离子能够打到B板，则所有离子都能打到B板
   竖直方向：L=v₀t  
   水平方向：$L=\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{AB}}{mL}{t}^{2}$
   联立以上两式，代入数据解得：U_AB=8000V．
（3）若垂直于A板的离子不能够打到B板，则所有离子都不能够打到B板，
  由动能定理得：$q{U}_{BA}=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$   
  代入数据解得：U_BA=2000V 
（4）设刚好能够打到B板边缘的离子速度方向与水平方向的夹角为α
   $\frac{N}{{N}_{总}}=\frac{θ}{90°}=\frac{37}{90}$，所以θ=37°
   竖直方向：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}sinθ}$
  水平方向：$L={v}_{0}cosθ•t-\frac{1}{2}×\frac{q{U}_{BA}}{mL}{t}^{2}$
  解得：U_BA=960V 
答：（1）若U_AB=0，则打到B板上的离子占总离子数的二分之一．
（2）若使所有离子都能打到B板，则U_AB至少为8000V．
（3）若使所有离子都不能打到B板，则U_BA至少为2000V．
（4）若打到B板的离子只占总离子数的$\frac{37}{90}$，则U_BA是960V．

点评 本题关键点在于：一是打到某一方向的离子数占比应与此方向的辐射角成正比；二是此题考察了几个特殊情况，沿平行于极板方向射出的离子做类平抛运动、沿垂直于极板方向的离子做匀减速直线运动，这两种情况是临界状态，从而求出电压的最小值．