题目内容

如图所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数k足够大的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为T．使一质量为m、初速度为v0的小物块，在滑块上无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧．（弹簧弹性势能的表达式Ep=
1
2
kx2，其中k为劲度系数，x为弹簧的压缩量）
（1）给出细绳被拉断的条件．
（2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左加速度为多少．
（3）试证明：物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动的条件是v0＞
T
K(m-K)
，且m＞M．
分析：（1）细绳恰好被拉断时，细绳的拉力恰好等于T，根据胡克定律求出弹簧的压缩量．在弹簧被压缩的过程中，物块的动能转化为弹簧的弹性势能，由机械能守恒求解细绳被拉断时物块的速度条件．
（2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，物块做减速运动，长滑块做加速运动，当两者速度相同时，弹簧压缩时x最大，M获得的加速度最大，根据系统动量守恒和机械能守恒求出弹簧最大压缩量，再由牛顿第二定律求解M最大的加速度．
（3）物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动，即相对地面的速度为零，根据系统动量守恒和机械能守恒列式，求出v0的条件．
解答：解：（1）设细绳刚被拉断时弹簧的压缩量为x0，此时有 kx0=T
为使弹簧压缩达到x0，对小物块要求是
1
2
m
v
2
0
＞
1
2
k
x
2
0

由此得到，细绳被拉断的条件是：v0＞
T
mk

（2）绳断时，小物体速度为v1，则有
1
2
m
v
2
0
=
1
2
m
v
2
1
+
1
2
k
x
2
0
  
又kx0=T
解得v1=
v
2
0
-
T2
mk
  
而后M在弹力作用下由静止开始加速，直至与m达到共同速度v2，此时弹簧压缩时x最大，则由动量守恒和机械能守恒得
    mv1=（M+mv2
1
2
m
v
2
0
=
1
2
(M+m)
v
2
2
+
1
2
kx2
此时M的加速度最大为 a=
kx
M

联立解得a=
1
M
m
M+m
(kM
v
2
0
+T2)
 
（3）木板与小滑块通过弹簧作用完毕时，相对地面恰好不向右运动时，小滑块相对地面的速度应为0，设此时木板的速度为V1，并设小滑块压缩弹簧前的速度为v0′，绳断瞬间小滑块的速度为v1，则有     mv=MV1
1
2
m(v0′)2=
1
2
M
V
2
1

由上解得小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件
v0′=
T
k(m-M)
，且m＞M
所以物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动的条件是v0＞
T
K(m-K)
，且m＞M．
答：（1）细绳被拉断的条件件是v0＞
T
mk
．
（2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左加速度为得a=
1
M
m
M+m
(kM
v
2
0
+T2)
．
（3）证明见上．
点评：本题是系统动量守恒和机械能守恒的综合应用，要挖掘所隐含的临界条件：细绳被拉断刚好被拉断时，细绳的拉力达到最大．
练习册系列答案
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g
3
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