Question

18．如图甲所示，倾角α=37°、宽度L=1.0m的足够长的“U”形平行金属导轨固定在磁感应强度B=1.0T，范围足够大的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，连接在导轨两端的电阻R=3.0Ω．现用平行于导轨向上的恒力F拉一根质量m=0.2kg、电阻r=1.0Ω的垂直放在导轨上的金属棒ab，使之由静止开始沿轨道向上运动．图乙是金属棒ab运动过程的v-t图象，导轨与金属棒ab间的动摩擦因数μ=0.5．在金属棒ab运动的过程中，第一个2s内通过金属棒ab的电荷量与第二个2s内通过ab的电荷量之比为3：5．g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）恒力F的大小；
（2）前4s内电阻R上产生的焦耳热；
（3）当t=4s时将拉力F的大小突变为F'，方向不变，且F'=2N，当金属棒ab的速度由4m/s减小到零时，所通过的位移．

Answer 1

分析 （1）金属棒2s后匀速，根据平衡条件结合安培力的计算公式求解拉力；
（2）根据图乙求解2s到4s内的位移，再根据根据电荷量的计算公式得到q∝x，由此求解前2s内的位移，根据能量关系求解产生的总的焦耳热，再根据能量分配关系求解前4s内电阻R上产生的焦耳热；（3）根据动量定理列方程求解通过的位移．

解答 解：（1）由图乙可知金属棒在2s后匀速运动，速度大小v=4m/s；
此时受到的安培力大小为F_A=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{{1}^{2}×{1}^{2}×4}{3+1}$N=1N，
根据平衡条件可得：F=F_A+mgsinα+μmgcosα，
代入数据解得：F=3N；
（2）根据图乙可得2s～4s内的位移x₂=vt₂=4×2m=8m，
根据电荷量的计算公式可得：q=It=$\frac{△Φ}{R+r}=\frac{BLx}{R+r}$，即q∝x，
已知第一个2s内通过金属棒ab的电荷量与第二个2s内通过ab的电荷量之比为3：5，
所以前2s内的位移x₁与后2s内的位移之比：x₁：x₂=3：5，
解得x₁=$\frac{3}{5}{x}_{2}=4.8m$；
设前4s内产生的总热量为Q，根据能量关系可得：
Q=F（x₁+x₂）-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-（mgsinα+μmgcosα）（x₁+x₂），
解得：Q=11.2J；
根据能量分配关系可得：QR=$\frac{R}{R+r}Q$=$\frac{3}{3+1}×11.2J$=8.4J；
（3）由于mgsinα+μmgcosα=2N，而拉力F′=2N，所以向上减速运动的过程中合力等于安培力；
根据动量定理可得：$-B\overline{I}L•△t=0-mv$，
即$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\overline{v}•△t}{R+r}=mv$，
而x=$\overline{v}•△t$，
解得：x=$\frac{mv（r+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=3.2m．
答：（1）恒力F的大小为3N；
（2）前4s内电阻R上产生的焦耳热为8.4J；
（3）当金属棒ab的速度由4m/s减小到零时，所通过的位移为3.2m．

点评 对于电磁感应问题研究思路常常有两条：
一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；
另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解．