Question

（2012?昆山市模拟）如图所示，两块平行金属板M、N正对着放置，s₁、s₂分别为M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三点共线，它们的连线垂直M、N，且s₂O=R..以O为圆心、R为半径的圆形区域内同时存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场和电场强度为E的匀强电场．D为收集板，板上各点到O点的距离以及板两端点的距离都为2R，板两端点的连线垂直M、N板．质量为m、电荷量为+q的粒子，经s₁进入M、N间的电场后，通过s₂进入电磁场区域，然后沿直线打到光屏P上的s₃点．粒子在s₁处的速度和粒子所受的重力均不计．求：
（1）M、N两板间的电压为U；
（2）撤去圆形区域内的电场后，当M、N间的电压改为U₁时，粒子恰好垂直打在收集板D的中点上，求电压U₁的值及粒子在磁场中的运动时间t；
（3）撤去圆形区域内的电场后，改变M、N间的电压时，粒子从s₂运动到D板经历的时间t会不同，求t的最小值．

Answer 1

分析：（1）粒子在电磁场中沿直线运动，则粒子所受电场力与磁场力合力为零，求出粒子的速度，粒子在MN间做加速运动，由动能定理可以求出加速电场电压．
（2）粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，粒子恰好打在收集板D的中点上时，在磁场中运动

1

4

圆弧，轨迹半径等于R，根据牛顿第二定律和动能定理求解M、N间的电压．
（3）粒子从s₁到打在D上经历的时间t等于在电场中运动时间、磁场中运动时间和穿出磁场后匀速直线运动的时间之和．M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中粒子磁场偏转角度越小，运动的时间也会越短，出磁场后匀速运动的时间也越短，故当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．根据几何知识求出打在D的右端时轨迹半径，根据前面的结果求出粒子进入磁场时的速度大小，运用运动学公式求出三段时间．

解答：解：（1）正粒子沿直线打到P板上的s₃点，可知：qv₀B=qE，
粒子在M、N间的加速，由动能定理得：qU=

1

2

mv₀²-0，
解得：U=

mE2

2qB2

；
（2）粒子恰好打在收集板D的中点上，
粒子在磁场中做圆周运动的半径为R由牛顿第二定律可知：qv₁B=m

v 2 1

R

，
由牛顿第二定律得：qU₁=

1

2

mv₁²-0，解得：U₁=

qB2R2

2m

，
粒子在磁场中做圆周运动的时间为

1

4

周期，由T=

2πR

v1

，解得t=

πm

2qB

；
（3）M、N间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，
粒子在磁场中运动轨迹的半径越大，在磁场中运动的时间也会越短，
出磁场后匀速运动的时间也越短，所以当粒子打在收集板D的右端时，对应时间t最短．
根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的半径r=

3R

，
粒子在磁场中运动的时间为t₁=

T

6

=

πm

3qB

，
由牛顿第二定律得：qv₂B=m

v 2 2

r

，
粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间：t₂=

T

v2

=

3m

3qB

；
粒子经过s₂后打在D上t的最小值t_min=t₁+t₂=

m

3qB

（π+

3

）；
答：（1）M、N两板间的电压为U=

mE2

2qB2

；
（2）电压U₁=

qB2R2

2m

，粒子在磁场中的运动时间t=

πm

2qB

；
（3）t的最小值为

m

3qB

（π+

3

）．

点评：本题考查分析和处理粒子在磁场中运动的轨迹问题，难点在于分析时间的最小值，也可以运用极限分析法分析．