Question

20．如图所示，一个质量为m=2kg的小物块（可看成质点）开始时静止在高度h=0.2m、长度L=4m、质量M=1kg的木板AB的最左端A处，C点为AB的中点．木板上表面AC部分粗糙，C B部分光滑，下表面与水平地面间的动摩擦因数μ₁=0.1．现对小物块施加一个水平向右的大小为F=12N的恒力，木板和小物块恰好能保持相对静止．已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s²

（1）求小物块与木板上表面AC部分间的动摩擦因数μ₂
（2）如果对小物块施加一个水平向右的大小为F=14N的恒力，当小物块运动到达C点时，小物块和木板的速度各为多少？
（3）在第（2）问的情况下，当小物块到达C点时撤去F，求小物块落地时与木板B端的水平距离．

Answer 1

分析 （1）对小物块施加一个水平向右的大小为F=12N的恒力时二者相对静止，由牛顿第二定律求出共同的加速度，然后对m进行受力分析即可求出；
（2）根据牛顿第二定律分别求出A、B匀加速运动的加速度，再由位移公式求小物块和木板的速度各为多少；
（3）由牛顿第二定律求m滑上光滑段时两个物体的加速度，再由运动学公式求解二者分离的时间和各自的速度，最后结合平抛运动的特点即可求出．

解答 解：（1）由题意可知，当F=12N时，二者一起做加速运动，选择向右为正方向，则：
（m+M）a₀=F₀-μ₁（M+m）g
代入数据得：${a}_{0}=3m/{s}^{2}$
对m进行受力分析可知，m受到重力、支持力拉力和摩擦力的作用，水平方向：
F₀-f₀=ma₀
竖直方向：N₁=mg
又：f₀=μ₂N₁
联立解得：μ₂=0.3，f₀=6N
（2）如果对小物块施加一个水平向右的大小为F=14N的恒力，当小物块的加速度：
${a}_{1}=\frac{F-{f}_{0}}{M}=4m/{s}^{2}$
M的加速度：${a}_{2}=\frac{{f}_{0}-{μ}_{1}（m+M）g}{M}=\frac{6-0.1×（2+1）×10}{1}=3m/{s}^{2}$
设当小物块运动到达C点时间是t₁，m的位移为x₁，M的位移是x₂，由运动学的公式和几何关系得：
${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$，${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$；
${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{1}{2}L$
联立得：t₁=2s
所以小物块的速度：v₁=a₁t₁=4×2=8m/s
木板的速度：v₂=a₂t₁=3×2=6m/s
（3）当小物块到达C点时撤去F后，小物块在水平方向不受力，所以做匀速直线运动，而木板受到地面的摩擦力不变，由牛顿第二定律得：
Ma₃=-μ₁（m+M）g
代入数据得：${a}_{3}=-3m/{s}^{2}$
设再经过时间t₂小物块离开木板，则：
${v}_{1}{t}_{2}-（{v}_{2}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}）=\frac{1}{2}L$
代入数据解得：${t}_{2}=\frac{2}{3}$s，（或t₂=-2s，舍去）
此时木板的速度：${v}_{3}={v}_{2}+{a}_{2}{t}_{2}=6+（-3）×\frac{2}{3}=4$m/s
小物块离开木板后做平抛运动，平抛运动的时间：${t}_{3}=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.2}{10}}=0.2$s
该过程中小物块沿水平方向的位移：x₃=v₁t₃=8×0.2=1.6m
木板在水平方向做减速运动，其加速度：${a}_{4}=-\frac{{μ}_{1}Mg}{M}=-{μ}_{1}g=-0.1×10=-1m/{s}^{2}$
t₃时间内木板的位移为：x₄=${v}_{3}{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{4}{t}_{3}^{2}$=$4×0.2+\frac{1}{2}×（-1）×0．{2}^{2}=0.78$m
所以小物块落地时与木板B端的水平距离：△x=x₃-x₄=1.6-0.78=0.82m
答：（1）小物块与木板上表面AC部分间的动摩擦因数是0.3；
（2）如果对小物块施加一个水平向右的大小为F=14N的恒力，当小物块运动到达C点时，小物块和木板的速度各为8m/s和6m/s；
（3）在第（2）问的情况下，当小物块到达C点时撤去F，小物块落地时与木板B端的水平距离是0.82m．

点评 本题是复杂的力学综合题，要边计算边分析物体的运动情况，要抓住各个过程之间的联系，如速度关系、位移关系，运用牛顿第二定律和运动学公式结合研究．