Question

如图所示，竖直平面内有光滑且不计电阻的两道金属导轨，宽都为L=1m，上方安装有一个阻值R=1Ω的定值电阻．两根质量都为m，电阻都为r=0.5Ω，完全相同的金属杆靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，虚线下方的区域内存在匀强磁场，磁感应强度B=1T．将金属杆l固定在磁场的上边缘，金属杆2从磁场边界上方 h₀=0.2m处由静止释放，进入磁场后恰作匀速运动，求：
（1）金属杆的质量m为多大？
（2）将金属杆l仍然固定在磁场上边缘，金属杆2从磁场边界上方h=1.5m高处静止释放，经过一段时间后再次匀速，此过程整个回路中产生了0.05J的热量，则此过程流过电阻R的电量q为多少？
（3）金属杆2仍然从离开磁场边界h=1.5m高处静止释放，在进入磁场的同时静止释放金属杆1，两金属杆运动了一段时间后都开始了匀速运动，试求出金属杆1和金属杆2匀速运动时的速度分别是多少？（两个电动势分别为E₁、E₂不同的电源串联时，电路中总的电动势E=E₁+E₂）．

Answer 1

分析：（1）由机械能守恒可求得金属杆2进入磁场时的速度，而金属杆2做匀速直线运动，则由受力平衡可求得金属杆的质量；
（2）由动能定理杆下落的高度，再求得由法拉第电磁感应定律可求知产生的电量；
（3）分别对两杆进行受力分析，可知两杆的运动及受力情况；两杆均可看作电源，则由电路的规律可知电流表达式；当杆匀速运动时受力平衡，则可得出平衡关系，联立各式可求得匀速时的速度．

解答：解：（1）匀速时，
mg=F_A=

B2L2v

R+2r

…①
磁场外下落过程mgh₀=

1

2

mv2…②
得m=0.1kg
（2）设流过电量q的过程中，
金属杆2在磁场中下落H
q=

△?

R+2r

=

BLH

R+2r

…③
由动能定理：mg(h+H)-Q总=

1

2

mv2-0…④
由①③④得：q=0.05C
（3）因为h＜h₀，
所以金属杆1进入磁场后先加速，加速度向下
由于两金属杆流过电流相同，
所以F_A相同
对金属杆1有mg-F_A=ma₁
对金属杆2有mg-F_A=ma₂
发现表达式相同，
所以两金属杆加速度a₁和a₂始终相同，
两金属杆速度差值也始终相同
设匀速时速度分别为v₁、v₂，有
v₂-v₁=

2gh

-0…⑤
又E=BLv₁+BLv₂
都匀速时，mg=F_A=

B2L2(v1+v2)

R+2r

…⑥
联立⑤⑥得
v₂=

2+ 3

2

m/s
V₁=

2- 3

2

m/s．

点评：本题中难点在于对于双电源的处理及通过分析明确两杆中电流相等、受安培力相等；总之此类问题应注意对过程及情景的分析，进而抓住关键点进行处理．