题目内容
（25分）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2
，两端和中心处分别固连着质量为
的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为
的小球A，以一给定速度
沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞。求刚碰后小球A,B,C,D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。
参考解答：
- 求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度
设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为
、
、
、
，并设它们的方向都与
的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒， 故有
（1）
碰撞前后质点组的角动量守恒，有
（2）
这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有
（3）
因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有
（4）
解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个解
=0 （5）
和
（6）
因为
也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度
（7）
（8）
（9）
2．讨论碰撞后各小球的运动
碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即
沿
方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为
（10）
方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：
（i）
，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是
即 
（11）
（ii）
，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是
（12）
（iii）
但
，即碰撞后小球A 沿
方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是
和
即 
（13）
（iv）
，即碰撞后小球A仍沿
方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是
（14）
（v）
，即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿
方向运动，发生这种运动的条件是
（15）
在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过
时，小球D 将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿
方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是
（16）
从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程
（17）
3．求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度
刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过
，这时，小球B的速度为
，小球D的速度为
．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A、B、C、D的速度分别为
、
、
和
，并假定它们的方向都与
的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得
（18）
（19）
（20）
由杆的刚性条件有
（21）
（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D球重合的空间点．
把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解
（22）
和 
（23）
对于由B、C、D 三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得
（24）
（25）
（26）
（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度
作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离
，而且小球D和B换了位置．
评分标准：
本题25分．
如图所示，两根质量可忽略的轻弹簧静止系住一小球，弹簧处于竖直状态，若只撤去弹簧a，撤去的瞬间小球的加速度大小为2.5m/s2，若只撤去弹簧b，则撤去瞬间小球的加速度可能为（g取10m/s2）（ ）
