Question

4．如图所示，水平轨道左端与长L=1.25m的水平传送带相接，传送带逆时针匀速运动的速度v₀=1m/s．轻弹簧右端固定在光滑水平轨道上，弹簧处于自然状态．现用质量m=0.1kg的小物块（视为质点）将弹簧压缩后由静止释放，到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入竖直固定的光滑半圆轨道最高点并恰好做圆周运动，经圆周最低点C后滑上质量为M=0.9kg的长木板上．竖直半圆轨道的半径R=0.4，物块与传送带间动摩擦因数μ₁=0.8，物块与木板间动摩擦因数μ₂=0.25，取g=10m/s²．求：

（1）物块到达B点时速度v_B的大小．
（2）弹簧被压缩时的弹性势能E_P．
（3）若长木板与水平地面间动摩擦因数μ₃≤0.026时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S的范围是多少 （设最大静动摩擦力等于滑动摩擦力）．

Answer 1

分析 （1）据恰好做圆周运动，利用牛顿运动定律列方程求解．
（2）抓住物块在B点的速度大于传送带的速度，可知物块在传送带上一直做匀减速运动，根据动能定理求出A点的速度，结合能量守恒定律求出弹簧的弹性势能．
（3）根据机械能守恒定律求出C点的速度，讨论μ₃=0，μ₃=0.026时，通过动量守恒定律和功能关系，以及动能定理求出木板的长度，从而得出木板的范围．

解答 解：（1）物体在光滑半圆轨道最高点恰好做圆周运动，由牛顿第二定律得：$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$   ①
解得${v}_{B}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}m/s=2m/s$．②
（2）物块被弹簧弹出的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒：${E}_{p}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$    ③
v_B＞v₀=1m/s，物体在传送带上一直做匀减速运动．
物块在传送带上滑行过程由动能定理得：-f₁L=$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$     ④
f₁=μ₁mg=0.8N  ⑤
联立②③④⑤解得：E_p=1.2J ⑥
（3）物块从B到C过程中由机械能守恒定律得：$mg2R=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，⑦
联立②⑥解得：${v}_{C}=2\sqrt{5}$m/s ⑧
讨论：Ⅰ．当μ₃=0时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为s₁，
小物块和长木板共速为v，由动量守恒定律：mv_C=（M+m）v ⑨
由功能关系：${μ}_{2}mg{s}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$    ⑩
代入数据解得s₁=3.6m（11）
Ⅱ．当μ₃=0.026时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为s₂，
物块在长木板上滑行过程中，对长木板受力分析：
上表面受到的摩擦力f₂=μ₂mg=0.25×1N=0.25N．（12）
下表面受到的摩擦力f₃≤μ₃（M+m）g=0.026×10N=0.26N
所以长木板静止不动，对物块在长木板上滑行过程
由动能定理得：-${f}_{2}{s}_{2}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$    （13）
代入数据解得s₂=4m（14）
所以木板长度的范围是3.6m≤s≤4m（15）
答：（1）物块到达B点时速度v_B的大小为2m/s．
（2）弹簧被压缩时的弹性势能为1.2J．
（3）要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度S的范围是3.6m≤s≤4m．

点评 分析清楚滑块的运动情况和受力情况是解题的关键，据受力情况判断滑块的运动是解题的核心，灵活利用牛顿运动定律、动能定理和能量守恒定律，动量守恒定律进行求解．