Question

19．如图所示，边长为a=10cm的正方形线圈绕垂直于磁感线的OO′轴以n=10r/s的转速匀速转动，磁场的磁感应强度B=0.1T，线圈的匝数N=100匝，电阻r=1Ω．线圈两端分别接在两个固定于OO′轴上且彼此绝缘的金属滑环上，外电路接有R=9Ω的电阻，并接有一只理想交流电压表．求：
（1）电压表的读数；
（2）若从线圈通过中性面开始计时，转过90°过程中，通过电阻R的电荷量；
（3）在1min内，作用在线圈上的外力所做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）电压表测量交流电压的有效值．交流发电机产生电动势的最大值为 E_m=NBSω，交流电压表显示的是路端电压的有效值，由E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m，求出电动势有效值，再由串联电路的特点求解．
（2）通过电阻的电量为q=N$\frac{△Φ}{R+r}$．
（3）由能量守恒定律可知，外力驱动线圈所做的功将消耗的外界能量全部转化为回路中的电能，进一步转化为回路中产生的内能，能量必须用电流的有效值计算．

解答 解：（1）电动势的最大值为：E_m=NBSω=NBS•2πn=100×0.1×0.1²×2π×10 V=2π V
交流电动势的有效值为：E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$E_m=$\sqrt{2}π$V
则电压表的读数为：U=$\frac{R}{R+r}$E=$\frac{9}{10}$×$\sqrt{2}π$V=$\frac{9\sqrt{2}π}{10}$ V
 （2）从线圈通过中性面开始计时，转过90°过程中由法拉第电磁感应定律，得电动势平均值为：$\overline{E}$=N$\frac{△Φ}{△t}$
电流的平均值为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
通过R的电量为：q=$\overline{I}$△t 
联立得：q=N$\frac{△Φ}{R+r}$=N$\frac{BS}{R+r}$=100×$\frac{0.1×0．{1}^{2}}{10}$C=0.01C
（3）由能量守恒定律可知，外力驱动线圈所做的功将消耗的外界能量全部转化为回路中的电能，则得外力所做的功为：
 W=Q=I²（R+r）t=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$t=12π²J
答：（1）电压表的读数是$\frac{9\sqrt{2}π}{10}$V；
（2）若从线圈通过中性面开始计时，转过90°过程中，通过电阻R的电荷量是0.01C；
（3）在1min内，作用在线圈上的外力所做的功是12π²J．

点评 本题考查了交流电的峰值和有效值、周期和频率的关系，要记住：求电量用电动势的平均值，求热量用有效值．