Question

如图所示，有3块水平放置的长薄金属板a、b和c，a、b之间相距为L．紧贴b板下表面竖直放置半径为R的半圆形塑料细管，两管口正好位于小孔M、N处．板a与b、b与c之间接有电压可调的直流电源，板b与c间还存在方向垂直纸面向外的匀强磁场．当体积为V₀、密度为ρ、电荷量为q的带负电油滴，等间隔地以速率v₀从a板上的小孔竖直向下射入，调节板间电压U_ba和U_bc，当U_ba=U₁、U_bc=U₂时，油滴穿过b板M孔进入细管，恰能与细管无接触地从N孔射出．忽略小孔和细管对电场的影响，不计空气阻力．求：
（1）油滴进入M孔时的速度v₁；
（2）b、c两板间的电场强度E和磁感应强度B的值；
（3）当油滴从细管的N孔射出瞬间，将U_ba和B立即调整到U

′

ba

和B?，使油滴恰好不碰到a板，且沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，请给出U

′

ba

和B?的结果．

Answer 1

分析：（1）油滴开始下落的过程中有重力、电场力做功，根据动能定理求出油滴进入M孔的速度．
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，知电场力等于重力，洛伦兹力提供向心力，根据平衡求出电场强度的大小，根据洛伦兹力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点速度为零，根据动能定理求出U

′

ba

的大小，返回到N孔时速度大小不变，现向左偏转做匀速圆周运动，则磁感应强度的大小不变，方向改变．

解答：解：（1）油滴入电场后，重力与电场力均做功，设到M点时的速度为v₁，由动能定理

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

=mgL+qU1①
考虑到m=ρV₀②
得：v1=

v 2 0 +2gL+ 2qU1 ρV0

③
（2）油滴进入电场、磁场共存区域，恰与细管无接触地从N孔射出，须电场力与重力平衡，有：mg=qE④
得：E=

ρV0g

q

⑤
油滴在半圆形细管中运动时，洛伦兹力提供向心力，由qv1B=

m v 2 1

R

⑥
得：B=

mv1

qR

=

ρV0

qR

v 2 0 +2gL+ 2qU1 ρV0

⑦
（3）若油滴恰不能撞到a板，且再返回并穿过M点，由动能定理，0-

1

2

m

v

2 1

=-mgL-qU

′

ba

⑧
得：U

′

ba

=U1+

ρV0 v 2 0

2q

⑨
考虑到油滴返回时速度方向已经相反，为了使油滴沿原路与细管无接触地返回并穿过M孔，磁感应强度的大小不变，方向相反，即：
B?=-B⑩
答：（1）油滴进入M孔时的速度v1=

v 2 0 +2gL+ 2qU1 ρV0

．
（2）b、c两板间的电场强度E=

ρV0g

q

，磁感应强度B=

ρV0

qR

v 2 0 +2gL+ 2qU1 ρV0

．
（3）U

′

ba

=U1+

ρV0 v 2 0

2q

，B?=-B．

点评：本题考查带电粒子在复合场中的运动，关键理清粒子的运动情况，结合牛顿第二定律和动能定理进行求解．