Question

16．如图所示，在xOy直角坐标平面内-0.05m≤x＜0的区域有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B=0.4T，0≤x≤0.08m的区域有沿-x方向的匀强电场．在x轴上坐标为（-0.05m，0）的S点有一粒子源，它一次能沿纸面同时向磁场内每个方向发射一个比荷$\frac{q}{m}=5×1{0}^{7}$C/kg，速率v₀=2×10⁶m/s的带正电粒子．若粒子源只发射一次，其中只有一个粒子M恰能到达电场的右边界，不计粒子的重力和粒子间的相互作用（结果可保留根号），求：
（1）粒子在磁场中运动的半径R；
（2）第一次经过y轴的所有粒子中，位置最高的粒子P的坐标；
（3）粒子M从S发射时的速度方向与x轴正方向间的夹角．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中，由洛伦兹力提供向心力，列式得出半径R．
（2）在y轴上位置最高的粒子P的运动轨迹恰与y轴相切于N点，作出其轨迹，如图2所示，由几何知识求解．
（3）由题意知，只有一个粒子Z恰能到达电场的右边界，说明Z粒子是垂直电场左边界进入电场的，作出Z粒子在磁场中的运动轨迹如图1所示，由几何知识求出θ．

解答 解：（1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：R=0.1m    
（2）在y轴上位置最高的粒子P的运动轨迹恰与y轴相切与N点，
如图所示，N点到x轴的竖直距离L满足
L²+（R-d_B）²=R²
解得：L=5$\sqrt{3}$cm=$\frac{\sqrt{3}}{20}$m              
即粒子P点的位置坐标为（0，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m）       
（3）由题意可知Z粒子是垂直电场左边界进入电场的，作出Z粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，O₁为轨迹圆圆心．       

用d_B磁场区域的宽度．
由几何知识可知：∠O1SO=θ，在△soo₁中满足：
cosθ=$\frac{os}{{o}_{1}s}$=$\frac{{d}_{B}}{R}$
代入数据可得：θ=$\frac{π}{3}$=60°
即粒子Z从S发射时的速度与X轴正方向夹角为60°；
答：（1）粒子在磁场中运动的半径R为0.1m；
（2）第一次经过y轴的所有粒子中，位置最高的粒子P的坐标（0，$\frac{\sqrt{3}}{20}$m）；
（3）粒子M从S发射时的速度方向与x轴正方向间的夹角为60°．

点评 本题的关键要正确分析粒子的受力情况和运动情况．对于电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径；同时明确洛伦兹力充当向心力规律的正确应用．