Question

如图所示，光滑水平面上静止放置着一辆平板车A．车上有两个小滑块B和C（都可视为质点），B与车板之间的动摩擦因数为μ，而C与车板之间的动摩擦因数为2μ，开始时B、C分别从车板的左、右两端同时以大小相同的初速度v₀相向滑行．经过一段时间，C、A的速度达到相等，此时C和B恰好发生碰撞．已知C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，A、B、C三者的质量都相等，重力加速度为g．设最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力．
（1）求开始运动到C、A的速度达到相等时的时间；
（2）求平板车平板总长度；
（3）已知滑块C最后没有脱离平板，求滑块C最后与车达到相对静止时处于平板上的位置．

Answer 1

（1）设A、B、C三个物体的质量都为m，从开始到C、A的速度达到相等的过程所用时间为t，C、A相等的速度为v_C，根据动量定理得
 对C：-2μmgt=mv_C-mv₀
 对A：（2μmg-μmg）t=mv_C
联立解得，t=

v0

3μg

，v_C=

1

3

v0
（2）对B，由动量定理得，
-μmgt=mv_B-mv₀
得到，v_B=

2

3

v0
对C：xC=

v0+vC

2

t，
对B：xB=

v0+vB

2

t
平板车平板总长度L=x_B+x_C
解得，L=

v 20

2μg

（3）对A：xA=

xAt

2

=

v 20

18μg

，A、B、C三者的位移和末速度分别为：xA=

v 20

18μg

，方向向左；
xB=

5 v 20

18μg

，方向向右；xC=

2 v 20

9μg

，方向向左．
vA=vC=

1

3

v0，方向向左；vB=

2

3

v0，方向向右．C和B发生碰撞时两者的速度立刻互换，则碰撞后C和B的速度各为：v_C′=

2

3

v0，方向向右，vB′=

1

3

v0，方向向左．
碰撞后B和A的速度相等，设B和A保持相对静止一起运动，此时对B和A整体有f_C=2μmg=2ma
对B：B受到的摩擦力为f_B′=ma=μmg，说明B和A保持相对静止一起运动．
设C最后停在车板上时，共同速度为v，由动量守恒定律得
  mv_C′-2mv_B′=2mv
可得，v=0
对这一过程，对C，由动能定理得
-2μmgS_C′=0-

1

2

m

v

′2C

对B和A整体，由动能定理得
-2μmgS_A′=0-

1

2

2m

v

′2B

解得，C和A的位移分别是
  S_C′=

2 v 20

9μg

，向右，S_A′=

v 20

18μg

，向左．
则C先相对于车板向左移动x₁=x_C-x_A=

v 20

6μg

，后相对于车板向右移动S=S_C′-S_A′=

v 20

6μg

，恰好回到原来的位置，即滑块C最后停在车板的右端．
答：
（1）开始运动到C、A的速度达到相等时的时间为t=

v0

3μg

；
（2）平板车平板总长度L=

v 20

2μg

；
（3）滑块C最后停在车板的右端．