Question

5．如图所示，将用绝缘管做成的圆形轨道竖直放置在竖直平面内，建立如图所示直角坐标系，圆形轨道的圆心与坐标原点重合，在Ⅰ、Ⅱ象限有垂直轨道平面的水平匀强磁场，在Ⅳ象限有竖直向下的匀强电场．一个带电荷量为+q，质量为m的小球从图中位置A由静止释放开始运动，刚好能通过最高点．不计一切摩擦，小球所带电荷量保持不变，轨道半径为R，R远大于管道的内径，小球直径略小于管道内径，小球可看成质点．
（1）求匀强电场的电场强度E的大小
（2）若小球在第二次到最高点时，刚好对轨道无压力，求磁感应强度B的大小
（3）求小球第三次到达最高点时对轨道的作用力．

Answer 1

分析 （1）因为小球刚好能绕圆管做圆周运动，则在最高点的速度为零，根据动能定理求出匀强电场的电场强度．
（2）根据动能定理求出第二次到达最高点的速度，抓住重力和洛伦兹力的合力提供向心力求出磁感应强度的大小．
（3）根据动能定理求出第三次到达最高点的速度，根据径向的合力提供向心力求出圆管对小球的作用力，从而得出小球对圆管的压力．

解答 解：（1）小球从图中位置A由静止释放开始运动，刚好能通过最高点说明小球在最高点速度刚好为零，
则从位置A到最高点的过程中，由动能定理可得：qER-mgR=0-0，解得：E=$\frac{mg}{q}$；
（2）小球第二次到达最高点时，对轨道无压力，此时满足：mg+qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$，
小球从第一次到达最高点至第二次到达最高点的过程中，
由动能定理可得：qER=$\frac{1}{2}$mv₂²-0，联立解得：B=$\frac{m\sqrt{2gR}}{2qR}$；
（3）小球从第二次到达最高点至第三次到达最高点的过程中，
由动能定理可得：qER=$\frac{1}{2}$mv₃²-$\frac{1}{2}$mv₂²，
小球第三次在最高点时，据牛顿第二定律得：N₃+mg+qv₃B=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$，
联立解得小球第三次到达最高点时对轨道的作用力大小为：N₃=（3-$\sqrt{2}$）mg，
由牛顿第三定律有：N₃′=N₃=（3-$\sqrt{2}$）mg，方向：竖直向下． 
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{mg}{q}$；
（2）若小球在第二次到最高点时，刚好对轨道无压力，磁感应强度B的大小为$\frac{m\sqrt{2gR}}{2qR}$；
（3）小球第三次到达最高点时对轨道的作用力大小为：（3-$\sqrt{2}$）mg，方向：竖直向下．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律，综合性较强，知道在最高点小球对轨道压力为零时向心力的来源．