Question

如图甲所示，在以O为坐标原点的xoy平面内，存在着范围足够大的电场和磁场．一个质量m=2×10^-2kg，带电量q=+5×10^-3C的带电小球在0时刻以v₀=40m/s的速度从O点沿+x方向（水平向右）射入该空间，在该空间同时加上如图乙所示的电场和磁场，其中电场沿-y方向（竖直向上），场强大小E₀=40V/m．磁场垂直于xoy平面向外，磁感应强度大小B₀=4πT．取当地的重力加速度g=10m/s²，不计空气阻力，计算结果中可以保留根式或π．试求：
（1）12s末小球速度的大小．
（2）在给定的xoy坐标系中，大体画出小球在0～24s内运动轨迹的示意图．
（3）26s末小球的位置坐标．

Answer 1

（1）0～1s内，小球只受重力作用，做平抛运动．当同时加上电场和磁场时，电场力：F₁=qE₀=0.2N，方向向上，
重力：G=mg=0.2N，方向向下，重力和电场力恰好平衡．此时小球只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，
根据牛顿第二定律有：qvB0=

mv2

r

运动周期T=

2πr

v

，联立解得T=2s
正好是电场、磁场同时存在时间的5倍，即在这10s内，小球恰好做了5个完整的匀速圆周运动．所以小球在t₁=12s时刻的速度相当于小球做平抛运动t=2s时的末速度．
     v_y=gt=20m/s，
     v_x=v₀=40m/s
     v1=

v 2x + v 2y

=20

5

m/s


（2）小球在24s内的运动轨迹示意图如图所示
（3）分析可知，小球26s末与24s末的位置相同，在26s内小球做了3s的平抛运动，23s末小球平抛运动的位移大小为：
    x₁=v₀?3=120m
    y1=

1

2

g×32=45m
3s时小球的速度大小为v2=

v 20 +(3g)2

=50m/s
  速度与竖直方向的夹角为θ=53°
此后小球做匀速圆周运动的半径r2=

mv2

qB0

=

50

π

m
26s末，小球恰好完成了半个圆周运动，此时小球的位置坐标
x2=x1-2r2cosθ=(120-

60

π

)m
y2=y1+2r2sinθ=(45+

80

π

)m
答：（1）12s末小球速度的大小20

5

m/s．
（2）0～24s内运动轨迹的如图．
（3）26s末小球的位置坐标[(120-

60

π

)m，(45+

80

π

)m]．