Question

5．如图所示，竖直平面内有一平面直角坐标系xoy，x轴水平、y轴竖直，在第1、4象限内有沿x轴负方向的匀强电场．在第2、3象限内有沿y轴正方向的匀强电场，在第2象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带电微粒从y轴上P点沿与y轴正方向成45°角的初速度进入第3象限，初速度的大小为v₀，微粒在第3象限内做匀速直线运动，进入第2象限后微粒做匀速圆周运动，并与y轴负方向成45°角进入第Ⅰ象限，在第1、4象限里运动后恰好能到达P点．已知第1、4象限内的电场强度与第2、3象限内的电场强度大小相同，重力加速度为g．求：
（1）P点坐标及电场强度E、磁感应强度B的大小；
（2）微粒从P点出发再回到P点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）微粒在第三象限内做匀速直线运动，速度不变；在第二象限内做匀速圆周运动，速度的大小不变，所以进入第一象限的微粒的速度大小仍然是v₀；由题意，微粒的速度的方向与电场力、重力的合力的方向垂直，在第一象限与第四象限内做类平抛运动，由运动的分解的方法即可求出P点的坐标；
（2）分别求出三段时间，求和即可．

解答 解：（1）由题意，画出粒子运动的轨迹如图；

由于微粒在第三象限做匀速直线运动，所以微粒受到的合力为0，即电场力与重力大小相等，方向相反，所以：qE=mg
所以：E=$\frac{mg}{q}$
微粒在第一象限受到重力和电场力的作用，合力：
$F=\sqrt{{m}^{2}{g}^{2}+（qE）^{2}}=\sqrt{2}mg$
与竖直方向之间的夹角θ：tanθ=$\frac{mg}{qE}=1$
所以：θ=45°
由分析知，粒子进入第一象限后的速度大小也是v₀，与y轴负方向成45°角进入第Ⅰ象限，可知该方向与微粒受到的合力的方向垂直，所以粒子在第一象限与第四象限内做类平抛运动．
沿水平方向的初速度：${v}_{x0}={v}_{0}sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
由运动的对称性可知，当微粒再次回到与y轴的交点P时，沿水平方向的分速度：v_x′=-v_x0
水平方向受到电场力的作用，由动量定理得：$-qE•{t}_{3}=m{v}_{x}′-m{v}_{x0}=-2m{v}_{x0}=-\sqrt{2}m{v}_{0}$
所以：t₃=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$
沿竖直方向的初速度：${v}_{y0}={v}_{0}cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$
t₃时间内微粒沿y方向的位移：$y={v}_{y0}•{t}_{3}+\frac{1}{2}g{t}_{3}^{2}$=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{g}$
由图可知：$y=\overline{CP}=2\overline{OP}$
所以：$\overline{OP}=\frac{1}{2}y=\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$
则P点的坐标是：（0，$-\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$）
由于在第二象限内微粒做匀速圆周运动，速度的方向始终沿切线的方向，所以$\overline{AC}=2R$
由图中的几何关系可知，$\overline{AC}=\sqrt{2}\overline{OC}=\sqrt{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{g}$
所以：R=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{2g}$
微粒在第二象限内电场力等于重力，所以做匀速圆周运动时，洛伦兹力恰好提供向心力，得：
$q{v}_{0}B=\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
所以：$B=\frac{m{v}_{0}}{qR}=\frac{\sqrt{2}mg}{q{v}_{0}}$
（2）由图可知：$\overline{AP}=\sqrt{2}\overline{OP}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}^{2}}{g}$
所以微粒在第三象限内运动的时间：${t}_{1}=\frac{\overline{AP}}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$
微粒在第二象限内运动半个圆周，时间：${t}_{2}=\frac{πR}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}π{v}_{0}}{2g}$
微粒运动的总时间：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}+\frac{\sqrt{2}π{v}_{0}}{2g}+\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{g}$=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{2g}（4+π）$
答：（1）P点坐标是（0，$-\frac{{v}_{0}^{2}}{g}$），电场强度是$\frac{mg}{q}$，磁感应强度B的大小是$\frac{\sqrt{2}mg}{q{v}_{0}}$；
（2）微粒从P点出发再回到P点所用的时间是$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{2g}（4+π）$．

点评 该题考查带电微粒在组合成中的运动，微粒分别经过了匀速直线运动、匀速圆周运动和类平抛运动的三段运动，属于多过程的情况，要理清头绪，抓住类平抛运动中水平方向运动的对称性来解题，是解答该题的捷径．