Question

2．用一根细绳使其一端固定，另一端系一个质量为m的球，使该球在竖直的平面内做圆周运动．试求小球通过最低点和最高点时细绳张力的差（T₁-T₂）．

Answer 1

分析 小球在竖直平面内做圆周运动，最高点和最低点时由合力提供圆周运动的向心力，再根据从最高点到最低点时满足机械能守恒求解最高点和最低点时的速度关系．

解答 解：设在最低点时速度为v₁，最高点时速度为v₂，圆周运动半径为R，
根据圆运动的规律有：
在最低点：${T_1}-mg=m\frac{{{v_1}^2}}{R}$
得 ${T_1}=m\frac{{{v_1}^2}}{R}+mg$    ①
在最高点：${T_2}+mg=m\frac{{{v_2}^2}}{R}$
得${T_2}=m\frac{{{v_2}^2}}{R}-mg$   ②
由①式减去②式得：${T_1}-{T_2}=\frac{{m{v_1}^2-m{v_2}^2}}{R}+2mg$  ③
选最低点为势能零点，对小球列方程：$\frac{1}{2}mv_2^2+2mgR=\frac{1}{2}mv_1^2$
得 $m{{v}_{1}}^{2}-m{{v}_{2}}^{2}$=4mgR   ④
将④式代入③式，得T₁-T₂=6mg
即：小球运动到最低点和最高点时，绳上张力的差恰为6mg．

点评 在竖直平面内做圆周运动，不计空气阻力知，小球所受合力提供向心力和机械能守恒（或动能定理）．