Question

如图所示，质量为m₁=3kg的光滑圆弧形轨道ABC与一质量为m₂=1kg 的物块P紧靠着（不粘连）静置于光滑水平面上，B为半圆轨道的最低点，AC为轨道的水平直径，轨道半径R=0.3m．一质量为m₃=2kg的小球（可视为质点）从圆弧轨道的A处由静止释放，g取10m/s²，求：
（1）小球第一次滑到B点时的速度v₁；
（2）小球第一次经过B点后，相对B能上升的最大高度h．

Answer 1

分析：（1）小球向下滑动过程中，小球、弧形轨道ABC和物块P组成的系统水平方向动量守恒，系统的机械能守恒，此过程中，小球和物块P的过程相同，据此列方程可求出小球第一次滑到B点时的速度v₁；
（2）小球经过B点后，物块P与弧形轨道ABC分离，小球与弧形轨道水平方向动量守恒，当二者速度相同时，小球上升高度最大，根据动量守恒和机械能守恒列方程即可求解．

解答：解：（1）小球向下滑动过程中，以小球、弧形轨道ABC和物块P组成的系统为研究对象，系统在水平方向不受外力，水平方向上系统动量守恒．
设小球第一次滑到B点时的速度为v₁，轨道和P的速度为v₂，取水平向左为正方向，由水平方向动量守恒有：
 （m₁+m₂）v₂+m₃v₁=0 ①
又由机械能守恒有：②
  m₃gR=

1

2

m₃v

2 1

+

1

2

（m₁+m₂）v₂²，
联①②解得：v₁=-2m/s方向向右，v₂=1m/s，方向向左．
故小球第一次滑到B点时的速度v₁=-2m/s，方向向右．
（2）物块经过B点后，物块P与轨道分离，小球与轨道水平方向动量守恒，且上升到最高点时，与轨道共速，设为v，有：
  m₁v₂+m₃v₁=（m₁+m₃）v ③
解得：v=

m1v2+m3v1

m1+m3

=

3×1+2×(-2)

3+2

m/s=-0.2m/s 方向向右
由机械能守恒定律得：
 

1

2

m₃v

2 1

+

1

2

m₁v₂²=

1

2

（m₁+m₃）v²+m₃gh  ④
解得：h=0.27m．
答：
（1）小球第一次滑到B点时的速度v₁为-2m/s，方向向右．
（2）小球第一次经过B点后，相对B能上升的最大高度h为0.27m．

点评：本题考查了动量守恒与机械能守恒的综合应用，是一道全面考查基础知识的好题．