Question

17．过山车是人们喜爱的一项活动，某一游乐场过山车可简化为如图的模型：如图所示，甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，半径分别为R=1m和r=0.6m，在两轨道之间有一条长为L=3m水平轨道CD相通，一质量为1kg的小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过CD段后又滑上乙轨道，最后从乙轨道最低点滑离轨道，小球运动过程中一直未脱离轨道，且小球与水平轨道间的动摩擦因数为μ=0.2，问：
（1）小球刚进入甲轨道时的速度v₀至少为多大？
（2）若小球以（1）问中的最小速度进入甲轨道，则小球经过乙轨道最低点时对轨道的压力F多大？

Answer 1

分析 （1）小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力恰好为零，都由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经过圆形轨道最高点时的速率．当小球从C到达甲圆形轨道的最高点的过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律求解小球刚进入甲轨道时的速度v₀．
（2）根据动能定理求小球经过乙轨道最低点时的速度，再由牛顿定律求小球对轨道的压力．

解答 解：（1）设小球恰好通过甲轨道最高点的速度为v₁，则有
   mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得 v₁=$\sqrt{gR}$
取轨道最低点所在水平面为参考平面，从C到甲轨道的最高点的塩，由机械能守恒定律有
  $\frac{1}{2}$mv₀₁²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²
解得 v₀₁=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×1}$=5$\sqrt{2}$m/s
小球恰好通过乙轨道最高点时的速度 v₂=$\sqrt{gr}$=$\sqrt{6}$m/s
从C到乙轨道最高点的过程，由动能定理得
-mg•2r=-μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀₂²，解得 v₀₂=$\sqrt{42}$m/s＜v₀₁
所以小球刚进入甲轨道时的速度v₀至少为5$\sqrt{2}$m/s．
（2）若小球以（1）问中的最小速度进入甲轨道，设小球经过乙轨道最低点时速度为v_D．
从C运动到D的过程，由动能定理得
-μmgL=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀₁²．
在D点，由牛顿第二定律得
  F′-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
联立可得 F′=$\frac{220}{3}$N
根据牛顿第三定律知，小球经过乙轨道最低点时对轨道的压力 F=F′=$\frac{220}{3}$N
答：
（1）小球刚进入甲轨道时的速度v₀至少为5$\sqrt{2}$m/s．
（2）小球经过乙轨道最低点时对轨道的压力F为$\frac{220}{3}$N．

点评 本题是向心力、机械能守恒定律、动能定理的综合应用．在竖直平面内，小球沿光滑圆轨道的运动模型与轻绳拴的球的运动模型相似，最高点的速度是v=$\sqrt{gr}$．