Question

3．如图所示，小球的质量为m，沿光滑的弯曲轨道滑下，与弯曲轨道相接的圆轨道的半径为R，轨道的形状如图所示，要使物体沿光滑圆轨道到最高点的速度为2$\sqrt{gR}$，求：
（1）物体离轨道最低处的h应为多少？
（2）最高点物体对轨道的压力为多少？
（3）如改变下落高度h，确保小球能做完整的圆周运动，下落高度h的最小值为多少？

Answer 1

分析 （1）物体下滑时只有重力做功，根据动能定理求得物体下滑时的高度h；
（2）小球在最高点竖直方向所受合力提供圆周运动向心力，由此求得物体对轨道的压力；
（3）小球在圆轨道上能经过最高点的临界条件$v≥\sqrt{gR}$，由动能定理求得小球的下落高度的最小值．

解答 解：（1）小球在光滑的轨道上运动只有重力做功，根据动能定理有：
$mg（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
代入$v=2\sqrt{gR}$
可得：h=4R
（2）在最高点以小球为研究对象在竖直方向所受合力提供圆周运动向心力有：
N+mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得小球受到的轨道压力N=$m\frac{{v}^{2}}{R}-mg=m\frac{（2\sqrt{gR}）^{2}}{R}-mg=3mg$
根据牛顿第三定律可知，物体对轨道的压力为3mg；
（3）小球能在圆轨道上做圆周运动，经过最高点时的最小速度$v′=\sqrt{gR}$，根据动能定理可知，物体下滑的最小高度满足：
$mg（{h}_{min}-2R）=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-0$
解得h_min=$\frac{5}{2}R$
答：（1）物体离轨道最低处的h应为4R；
（2）最高点物体对轨道的压力为3mg；
（3）如改变下落高度h，确保小球能做完整的圆周运动，下落高度h的最小值为$\frac{5}{2}R$．

点评 本题考查了动能定理与圆周运动结合，关键是对运动过程的受力分析和做功分析，掌握竖直平面内圆周运动的临界条件是正确解题的关键．