Question

如图所示，质量为m的飞行器在绕地球的圆轨道上运行，半径为r₁，要进入半径为r₂的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ．已知飞行器在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为v₂，在A点时通过发动机向后喷出一定的质量气体使飞行器速度增加到v′，进入椭圆轨道Ⅲ，设喷出的气体的速度大小为u，求：
（1）飞行器在轨道I上的速度v₁及轨道I处的重力加速度．
（2）飞行器喷出气体的质量．

Answer 1

分析：1、根据万有引力提供向心力结合轨道半径的关系求出线速度的大小，根据向心加速度的公式求出向心加速度的大小．
2、根据动量守恒定律求出发电机喷出气体的质量

解答：解：（1）在轨道Ⅰ上，根据万有引力提供向心力有：

GMm

r 2 1

=m

v 2 1

r1

，
得：v₁=

GM r1

．
同理在轨道Ⅱ上有：v₂=

GM r2

．
联立得：v₁=v₂

r2 r1

．
设在轨道Ⅰ上的重力加速度为g₁，则：

GMm

r 2 1

=mg₁
代入上式，解得：g₁=

r2

r 2 1

v₂．
（2）设喷出气体质量为△m，由题意知，飞船在喷气过程中，运动方向上动量守恒，有：
mv₁=（m-△m）v'-△mu，
v₁=v₂

r2 r1

联立解得：△m=

v′-v2 r2 r1

v′+u

答：（1）飞行器在轨道I上的速度大小是v₂

r2 r1

，轨道I处的重力加速度是

r2

r 2 1

v₂．
（2）飞行器喷出气体的质量是

v′-v2 r2 r1

v′+u

．

点评：本题考查了万有引力提供向心力这一理论，以及动量守恒定律，难度中等，平时的练习中需加强训练．