Question

16．国际空间站是迄今最大的太空合作项目，其离地高度为H，绕地球做圆周运动的周期为T₁．又知万有引力常量G，地球半径R，同步卫星距地面的高度h，地球的自转周期T₂以及地球表面重力加速度g．某同学根据以上条件，提出一种计算地球质量M的方法如下：
同步卫星绕地心做圆周运动，由G$\frac{Mm}{{h}^{2}}$=m（$\frac{2π}{{T}_{2}}$）²h得M=$\frac{4{π}^{2}{h}^{2}}{G{{T}_{2}}^{2}}$
（1）请判断上面所列方程是否正确，如果不正确，请说明理由．
（2）请根据题给条件再另外给出两种计算地球质量的方法，并解得结果．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力求解中心天体的质量，r为轨道半径，不是高度．
根据国际空间站做圆周运动的轨道半径和周期，结合万有引力提供向心力求出地球的质量．根据万有引力等于重力求出地球的质量．

解答 解：（1）上述方程错误，同步卫星绕地心做圆周运动，轨道半径为R+h，不是高度h．
（2）方法一：国际空间站绕地球做圆周运动，根据$G\frac{Mm}{（R+H）^{2}}=m（R+H）\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，地球的质量M=$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$．
方法二：根据万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，地球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
答：（1）上述方程错误，同步卫星绕地心做圆周运动，轨道半径为R+h，不是高度h．
（2）地球的质量为$\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，或$\frac{g{R}^{2}}{G}$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．