Question

18．如图所示，由斜面AB和圆弧BCD组成的轨道在竖直平面内，AB和BCD刚好在B点相切，斜面AB长L=1m，倾角θ=53°，圆轨道半径R=0.2m，直径CD与水平面垂直，一质量m=0.1kg的小球（可视为质点）从斜面顶端A点由静止释放，取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若轨道光滑，求小球滑到斜面底端B时的速度大小v_B以及到最低点C时对圆轨道的压力大小F_C；
（2）若轨道粗糙，且小球到达圆弧最高点D时对轨道压力恰好为零，求小球从A点运动到D点的过程中克服阻力做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）若轨道光滑，小球沿倾斜轨道下滑时，只有重力对物块做功，根据动能定理求得小物块滑到B点和C点时的速度；由牛顿第二定律求得在C点时轨道对小球的支持力，从而得到小球对轨道的压力大小；
（2）小球到达圆弧最高点D时对轨道压力恰好为零，由重力充当向心力，由牛顿第二定律求得C点的速度，再根据动能定理求解．

解答 解：（1）小球沿斜面下滑时只有重力做功，根据动能定理可得：
A到B过程有：mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-0
由此代入数据可解得：v_B=$\sqrt{2gLsinθ}$=4m/s；
A到C过程有：mgLsinθ+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
在C点，由牛顿第二定律得
   F_C′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
可得 F_C′=9.8N
由牛顿第三定律得，到最低点C时对圆轨道的压力大小F_C=F_C′=9.8N
（3）小球到达圆弧最高点D时对轨道压力恰好为零，由重力充当向心力，由牛顿第二定律得
  mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
从A到D，由动能定理得
   mg[Lsinθ-R（1+cosθ）]-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
解得 W_f=0.38J
答：
（1）小球滑到斜面底端B时的速度大小v_B是4m/s，最低点C时对圆轨道的压力大小F_C是9.8N．
（2）小球从A点运动到D点的过程中克服阻力做的功W_f为0.38J．

点评 正确的对物体进行受力分析和做功分析，由动能定理求解物体的速度，掌握竖直面内圆周运动通过最高点的临界条件是正确解题的关键．