Question

10．竖直平面内的轨道ABCD由水平滑道AB与光滑的四分之一圆弧滑道CD组成，AB恰与圆弧CD在C点相切，轨道放在光滑的水平面上，如图所示．一个质量为m的小物块（可视为质点）从轨道的A端以初动能E冲上水平滑道AB，沿着轨道运动，由DC弧滑下后停在水平滑道AB的中点．已知水平滑道AB长为L，轨道ABCD的质量为3m．求：
（1）小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小．
（2）为了保证小物块不从滑道的D端离开滑道，圆弧滑道的半径R至少是多大？
（3）若增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到的最大高度是1.5R，试分析小物块最终能否停在滑道上？

Answer 1

分析 （1）物块冲上滑道AB后的运动过程中，系统水平方向不受外力，动量守恒，物块最终与滑道的速度相同，由动量守恒定律求最终速度，系统的动能损失等于克服摩擦做功，根据功能关系求摩擦力的大小；
（2）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度，此速度与上题最终速度相等，根据整个过程功能关系列式求解；
（3）应用动能定理分析物块是否能滑离轨道．

解答 解：（1）小物块冲上轨道的初速度设为v₀，
E=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
最终停在AB的中点，跟轨道有相同的速度，设为v，
在这个过程中，系统动量守恒，以初速度方向为正，有mv₀=（m+M）V
v=$\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2E}{m}}$
系统的动能损失用于克服摩擦做功，有
△E=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}×（m+3m）{v}^{2}$=$\frac{3}{2}fL$
解得摩擦力 f=$\frac{E}{2L}$
（2）若小物块刚好到达D处，此时它与轨道有共同的速度（与v相等），在此过程中系统总动能减少转化内能（克服摩擦做功）和物块的重力势能，同理，有
△E₁=-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}×（m+3m）{v}^{2}$=fL+mgR
解得要使物块不从D点离开滑道，CD圆弧半径至少为R=$\frac{E}{4mg}$．
（3）从A到最高点的过程中，由动能定理得：-μmgL-mg×1.5R=-E′，解得：E′=$\frac{7}{8}E$，物块滑回C点时的动能为E_C=1.5mgR=$\frac{3}{8}E$，由于E_C＜μmgL=$\frac{E}{2}$，故物块将停在滑道上，不会滑离滑道．
答：（1）小物块在水平滑道上受到的摩擦力的大小为$\frac{E}{2L}$；
（2）为了保证小物块不从滑道的D端离开滑道，圆弧滑道的半径R至少是$\frac{E}{4mg}$；
（3）若增大小物块的初动能，使得小物块冲上轨道后可以达到的最大高度是1.5R，物块将停在滑道上，不会滑离滑道．

点评 本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的类型，关键要抓住临界条件，结合两大守恒定律进行分析．