Question

2．如图所示，在匀强磁场中有一个矩形线圈abcd，ab边与磁场垂直，MN边始终与金属滑环K相连，PQ边始终与金属滑环L相连．金属滑环L、电流表、定值电阻R、金属滑环K通过导线串联．使矩形线圈绕bc、ad中点的轴以角速度ω=10πrad/s匀速转动，线圈共20匝，线圈的总电阻r=5Ω，ab=0.2m，bc=0.5m，定值电阻R=45Ω，磁感应强度B=$\frac{8}{π}$T．
（1）写出从图示位置开始计时，线框中感应电动势的瞬时值表达式；
（2）电阻R在0.05s内产生的热量；
（3）设线圈从图示位置开始转动，求0.05s内流经电阻R上的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据感应电动势的瞬时值表达式e=NBSωcosωt，求出各量代入表达式即可；
（2）计算出线圈感应电动势的有效值，利用闭合电路欧姆定律求出感应电流有效值，再利用焦耳定律求出电阻R在0.05s内产生的热量；
（3）先推导计算流经电阻R上的电荷量的公式，再计算0.05s内磁通量的变化，求出0.05s内流经电阻R上的电荷量．

解答 解：（1）线圈中感应电动势最大值E_m=NBSω=20×$\frac{8}{π}$×0.2×0.5×10πV=160V
从图示位置开始计时，线框中感应电动势的瞬时值表达式e=E_mcosωt=160cos10πt；
（2）线框中感应电动势的有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=80\sqrt{2}V$
由闭合电路欧姆定律有
$I=\frac{E}{R+r}=\frac{80\sqrt{2}}{45+5}A=\frac{8\sqrt{2}}{5}A$
电阻R在0.05s内产生的热量，由焦耳定律有
Q=${I}^{2}Rt=（\frac{8\sqrt{2}}{5}）^{2}×45×0.05J$=11.52J
（3）流经电阻R上的电荷量q=$\overline{I}△t$
而平均感应电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}$
平均感应电动势$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}$
则可得q=$\frac{N△Φ}{R+r}$
线圈转动的周期T=$\frac{2π}{ω}=0.2s$
则0.05s内线圈转过90°，$△Φ=BS=\frac{8}{π}×0.2×0.5Wb/s=\frac{4}{5π}Wb/s$
则0.05s内流经电阻R上的电荷量q=$\frac{N△Φ}{R+r}$=$\frac{20×\frac{4}{5π}}{45+5}C$=$\frac{8}{25π}C$
答：（1）从图示位置开始计时，线框中感应电动势的瞬时值表达式为e=160cos10πt；
（2）电阻R在0.05s内产生的热量为11.52J；
（3）设线圈从图示位置开始转动，求0.05s内流经电阻R上的电荷量为$\frac{8}{25π}C$．

点评 解答本题的关键是掌握感应电动势的瞬时值表达式e=NBSωcosωt，清楚有效值，平均值，最大值的计算；另外注意计算焦耳热用电流的有效值，计算电量用电流的平均值，这里比较容易出错．