Question

7．如图所示，三边长均为L=0.6m的光滑U形导轨Ⅰ固定放置，与水平面成60°角；另一足够长的光滑U形导轨Ⅱ固定放置在比导轨Ⅰ高的水平面内，导轨Ⅱ内始终存在着水平向右作匀加速运动的匀强磁场，磁感应强度B'=1.0T，方向竖直向上，质量为m=0.1kg，阻值为R=2.0Ω的导体棒ab垂直导轨放置在导轨Ⅰ的开口处（有两柱挡着ab），现突然在导轨Ⅰ内加一垂直于导轨Ⅰ平面向上的、以B=B₀-10t变化的磁场，经0.1s后，ab棒离开导轨Ⅰ斜向上飞出（在该0.1s内，导体棒ab所受的安培力大于其重力沿导轨Ⅰ所在平面的分力），恰好能到达最高点时落在导轨Ⅱ的开口a'b'处，此后，ab棒及匀强磁场B'运动的v-t图象分别为图乙中的平行线①②．若ab棒始终与导轨接触良好，导轨的电阻和空气阻力均不计．g取10m/s²，求：

（1）ab棒飞起的高度h；
（2）磁场B的初始值B₀；
（3）磁场B′向右运动的加速度a．

Answer 1

分析 （1）根据图象得出ab棒落在导轨Ⅱ的瞬时速度，根据平行四边形定则求出ab棒刚飞起时的速度大小．根据机械能守恒定律求出ab飞起的高度．
（2）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律求出电路中的电流，根据动量定理求出磁场B的初始值．
（3）ab棒在导轨Ⅱ内产生的感应电动势E'=B'L（v₂-v₁），根据速度之差，结合牛顿第二定律求出ab棒的加速度，由图（乙）知，磁场B'的加速度与棒的加速度相同．

解答 解：（1）由图（乙）知，ab棒落到导轨Ⅱ的瞬时速度v₁=1m/s，
由运动的合成可知，ab棒刚飞起时的速度为${v}_{0}=\frac{{v}_{1}}{cos60°}=\frac{1}{\frac{1}{2}}m/s=2m/s$，
由机械能守恒有$mgh=\frac{1}{2}m{v_0}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$，
解得$h=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}}{2g}=\frac{4-1}{20}m=0.15m$．
（2）由B=B₀-10t知，$\frac{△B}{△t}=10T/s$，
则电动势$E=\frac{△Φ}{△t}=\frac{△B}{△t}{L^2}=3.6V$，
根据欧姆定律得$I=\frac{E}{R}=\frac{3.6}{2}A=1.8A$．
经△t=0.1s，B=（B₀-1）T，
由动量定理有{$\frac{1}{2}$[B₀+（B₀-1）]IL-mgsin60°}△t=mv₀-0，
代入数据解得B₀≈3.15T．
（3）ab棒在导轨Ⅱ内产生的感应电动势E'=B'L（v₂-v₁），
对ab棒，由牛顿第二定律$\frac{{B{'^2}{L^2}（{v_2}-{v_1}）}}{R}=ma$，
由图（乙）知，v₂-v₁=1m/s，
代入数据解得a=1.8m/s²．
由图（乙）知，磁场B'的加速度与棒的加速度相同，可知磁场B'的加速度也为1.8m/s²．
答：（1）ab棒飞起的高度h为0.15m；
（2）磁场B的初始值为3.15T；
（3）磁场B′向右运动的加速度a为1.8m/s²．

点评 本题考查了电磁感应与动力学和能量的综合，涉及到机械能守恒定律、动量定理、牛顿第二定律，在第三问中，注意求解ab棒产生的感应电动势时，要找出ab棒相对磁场的速度．