题目内容

5．如图所示，一根直导体棒质量为m、长为L，其两端放在位于水平面内间距也为L的光滑平行导轨上，并与之接触良好，棒左侧两导轨之间连接一可控电阻，导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在平面．t=0时刻，给导体棒一个平行于导轨的初速度v0，此时可控电阻的阻值为R0，在棒运动过程中，通过可控电阻的变化使棒中的电流保持恒定，不计导轨和导体棒的电阻，导体棒一直在磁场中．
（1）求棒从开始运动到停止这段时间内可控电阻R上消耗的平均功率；
（2）求可控电阻R随时间t变化的关系式；
（3）若将可控电阻改为阻值为R0的定值电阻，求棒开始运动到停止这段时间发生的位移x．

分析 （1）根据功能关系求解克服安培力做的功，根据运动学的计算公式求解经过的时间，由此求解电功率；
（2）使棒中的电流强度保持恒定，结合欧姆定律知电流强度为定值，由于棒做匀减速运动，故感应电动势随时间减小，由此的到R随时间的变化关系；
（3）根据运动学公式与牛顿第二定律，结合电磁感应定律与闭合电路欧姆定律，即可求解．

解答 解：（1）根据能量守恒定律可得，这段时间电路中消耗的电功为：W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
由于电流强度不变，所以安培力不变，根据牛顿第二定律可得：FA=ma，
而FA=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}}$，
解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{m{R}_{0}}$，
根据v0=at可得：t=$\frac{m{R}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
所以有：P=$\frac{W}{t}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{R}_{0}}$；
（2）因棒中的电流强度保持恒定，故棒做匀减速直线运动，设t时刻棒的速度为v，则有：$\frac{BL{v}_{0}}{{R}_{0}}$=$\frac{BLv}{R}$，
v=v0-at，
联立解得：R=R0-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$；
（3）若电阻保持R0不变，则棒做加速度减小的减速运动，有：$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLx}{△t}$，
根据闭合电路的欧姆定律可得：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，
根据牛顿第二定律可得平均加速度：$\overline{a}=\frac{B\overline{I}L}{m}$，
根据匀变速直线运动速度时间关系可得：v0=$\overline{a}t$，
联立解得：x=$\frac{m{v}_{0}{R}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：（1）棒从开始运动到停止这段时间内可控电阻R上消耗的平均功率$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}^{2}}{2{R}_{0}}$；
（2）可控电阻R随时间t变化的关系式为R=R0-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{m}t$；
（3）若将可控电阻改为阻值为R0的定值电阻，棒开始运动到停止这段时间发生的位移为$\frac{m{v}_{0}{R}_{0}}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 解决本题的关键知道分析导体棒受力情况，应用闭合电路欧姆定律和牛顿第二定律求解，注意对于线性变化的物理量求平均的思路，本题中先后用到平均电动势、平均电阻和平均加速度．

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