Question

2．如图所示，圆形区域存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一个电荷量为q，质量为m的粒子沿平行于直径AC的方向射入磁场，射入点到直径AC的距离为磁场区域半径的一半，粒子从D点射出磁场时的速率为v，不计粒子的重力．求
（1）粒子在磁场中加速度的大小；
（2）粒子在磁场中运动的时间；
（3）粒子以2v的速率射入，在磁场中发生位移的大小．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律可以求出加速度；
（2）作出粒子运动轨迹，求出粒子转过的圆心角，然后求出粒子的运动时间；
（3）由牛顿第二定律求出粒子轨道半径，然后根据几何关系来计算在磁场中发生位移的大小．

解答 解：（1）粒子在磁场中只受洛伦兹力作用，则Bqυ=ma  
解得：$a=\frac{Bqυ}{m}$；
（2）如图甲所示，
由几何关系可得粒子在磁场中偏转60°，则
在磁场中运动的时间为$\frac{1}{6}T$，
解得：$t=\frac{1}{6}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{πm}{3Bq}$
（3）当粒子以速率为v从D点射出磁场时，其运动轨迹如图甲所示．由几何关系可知圆形区域中匀强磁场的半径R与粒子运动的轨迹半径r相等．有：$Bqυ=m\frac{υ^2}{r}$，
R=$r=\frac{mυ}{Bq}$，

当粒子以2v的速率射入时，粒子在磁场中运动的轨迹半径为2r，如图乙所示．
由几何关系可得∠OEO₂=120°，设∠EOO₂=α，则∠EO₂O=60°-α，有
Rsinα=2rsin（60°-α）=2r（sin60°cosα-cos60°sinα）
解得tanα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
可换算得sinα=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
所求的位移x=2Rsinα=$\frac{2\sqrt{21}mv}{7Bq}$
答：（1）粒子在磁场中加速度的大小为$\frac{Bqυ}{m}$；
（2）粒子在磁场中运动的时间为$\frac{πm}{3Bq}$；
（3）粒子以2v的速率射入，在磁场中发生位移的大小为$\frac{2\sqrt{21}mv}{7Bq}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，分析清楚粒子运动过程、作出粒子运动轨迹，应用牛顿第二定律、周期公式即可正确解题．