Question

如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球拉直水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围．不计线与钉子碰撞时的能量损失．

Answer 1

分析：碰钉子后的圆周运动的半径越小越容易满足条件；根据机械能守恒定律和牛顿第二定律分别列式后联立求解出临界半径．

解答：解：这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题．题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于

gr

 （r 是做圆周运动的半径）．设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x，则：
AD=

x2+( l 2 )2

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：
r=l-AD=l-

x2+( l 2 )2

      ①
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：
F-mg=

mv2

r

结合 F≤9mg可得

mv2

r

≤8mg    ②
由机械能守恒定律得：mg（r+

l

2

）=

1

2

mv²  
即：v²=2g（r+

l

2

）    ③
由①②③式联立解得：x≤

2

3

l

随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度

gr

 也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径 r约大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x′如图，则

 AG=

x2+( l 2 )2

 
r′=l-AG=l-

x2+( l 2 )2

  ④
在最高点：mg≤

mv2

r

      ⑤
由机械能守恒定律得：
mg（

l

2

-r′）=

1

2

mv² ⑥
由④⑤⑥联立得   x′≥

7

6

l
在水平线上EF上钉子的位置范围是：

7

6

l≤x′≤

2

3

l
答：在水平线上EF上钉子的位置范围是：

7

6

l≤x′≤

2

3

l．

点评：本题关键找出临界过程，然后根据机械能守恒定律和牛顿第二定律列式后联立求解．