Question

12．河宽d=60m，水流速度v₁=3m/s，小船在静水中的速度v₂=6m/s，问：
（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河？最短时间是多少？
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？
（3）若水流速度变为v₃=10m/s，要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？

Answer 1

分析 （1）船航行时速度为静水中的速度与河水流速二者合速度，当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短；
（2）由矢量合成的平行四边形定则得知小船的合速度，小船实际以合速度做匀速直线运动，进而求得位移的大小；小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸；
（3）因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小．

解答 解：（1）当以静水中的速度垂直河岸过河的时候渡河时间最短，则知：t_min=$\frac{d}{{v}_{c}}$=$\frac{60}{6}$s=10s 
   （2）小船以最短距离过河时，则静水中的速度斜着向上游，合速度垂直河岸，设与河岸的夹角为θ，
    则由矢量合成的平行四边形法则解三角形得：cosθ=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$=$\frac{3}{6}$，
    这时船头与河水速度夹角为θ=60°；
    最短的航程是60m．
（3）因为水流速度大于静水速度，所以合速度的方向不可能垂直河岸，则小船不可能到达正对岸．当合速度的方向与静水速的方向垂直时，合速度的方向与河岸的夹角最短，渡河航程最小．
设此时静水速的方向与河岸的夹角为θ，cosθ=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$=$\frac{6}{10}$=0.6，解得：θ=53°．
根据几何关系，则有：$\frac{d}{s}$=$\frac{{v}_{c}}{{v}_{s}}$，因此最短的航程是s=$\frac{{v}_{s}}{{v}_{c}}$d=$\frac{10}{6}$×60=100m．
答：（1）船垂直河岸过河时间最短，且过河的最短时间为10s，；
（2）要小船以最短距离过河，开船方向与河水速度夹角为60°，最短航程是60m；
（3）若水流速度变为v₃=10m/s，要使它渡河的航程最短，则小船应偏向上游53°渡河，最短的航程是100m．

点评 小船过河问题属于运动的合成问题，要明确分运动的等时性、独立性，运用分解的思想，看过河时间只分析垂直河岸的速度，分析过河位移时，要分析合速度，注意当要最短位移过河时，要分清船速与水流速度的大小关系，是解题的关键．