Question

（2011?浙江一模）如图，直线MN上方有平行于纸面且与MN成45°的有界匀强电场，电场强度大小为E；MN下方为方向垂直于纸面向里的有界匀强磁场，磁感应强度大小未知．今从MN上的O点向磁场中射入一个速度大小为v、方向与MN成45°角的带正电粒子，该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R．若该粒子从O点进入磁场后第三次经过直线MN后又恰好通过O点．不计粒子的重力．求：
（1）粒子第三次经过直线MN时的位置；
（2）磁感应强度大小；
（3）粒子从O点出发到再次回到O点所需的时间．

Answer 1

分析：粒子在磁场中受洛伦兹力作用下做一段圆弧后，进入电场中恰好做匀减速运动直到速度为零后又返回，以相同速率再次进入磁场仍在洛伦兹力作用下又做一段圆弧后，再次进入电场正好做类平抛运动．粒子在磁场中两次运动刚好完成一个周期，则粒子第三次经过直线MN时的位置，就是这两段圆弧对应弦长的两倍．
由粒子在电场中的类平抛运动，垂直电场方向位移与速度关系；沿电场方向位移与时间关系，从而借助于电场强度来求出磁感应强度大小．

解答：解：粒子的运动轨迹如图，先是一段半径为R的

1

4

圆弧到a点，接着恰好逆电场线匀减速运动到b点速度为零再返回a点速度仍为v，再在磁场中运动一段

3

4

圆弧到c点，之后垂直电场线进入电场作类平抛运动．
（1）由图可知：oa=2Rcos45°=

2

R  
因此oc=2

2

R 即距离O 点2

2

R     （1）
（2）粒子在电场中运动时垂直和平行电场方向的位移都为 
      s_⊥=s_∥=ocsin45°=2R    （2）
所以类平抛运动时间为
      t1=

s⊥

v

=

2R

v

            （3）
又     s∥=

1

2

at

2 3

=

qE 2m t

2 3

      （4）
再有    Bqv=m

v2

R

   （5）
由③④⑤⑥⑦可得
         B=

E

v

              （6）
（3）粒子在磁场中运动的总时间为
        t2=

2πR

v

                   （7）
粒子在电场中的加速度为
           a=

qE

m

=

v2

R

         （8）
粒子在电场中做直线运动所需时间为
     t3=

2v

a

=

2R

v

            （9）
由（4）（9）（7）得粒子从出发到再到达O点所需时间
  t=t1+t2+t3=

2R

v

(2+π)

点评：本题考查带电粒子在电场、磁场中两运动模型：匀速圆周运动与类平抛运动，及相关的综合分析能力，以及空间想像的能力，应用数学知识解决物理问题的能力．