Question

如图所示，一个

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圆弧形光滑细圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，AP=2R．将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力．
（1）若小球通过C点后恰好能打在A 点，求小球经过C点时的速度．
（2）若小球通过C点后落到水平地面的AP之间，求小球离A点的高度范围．

Answer 1

分析：（1）离开C点小球做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得C点速度的大小；
（2）小球从最高点到C点的过程中机械能守恒，根据机械能使守恒定律求解高度H，从C点抛出后小球做平抛运动，结合平抛运动的规律即可求解范围．

解答：解：（1）小球离开C点做平抛运动，设经过C点时的速度v_C，根据运动学公式可得：
竖直方向：R=

1

2

gt2    ①
水平方向：R=v_Ct       ②
联立①②解得vC=

gR 2

③
（2）设小球通过C点后能落到A点，离A点的高度为H₁，根据机械能守恒定律有：
mg H₁=mgR+

1

2

mvC2④
联立③④解得H₁=1.25R
设小球通过C点后能落到P点，离A点的高度为H₂，设经过C点时的速度v_C′
根据机械能守恒定律有：mgH₂=mgR+

1

2

mv′C2⑤
又由运动学公式有：3R=v_C′t  ⑥
联立①⑤⑥解得：H₂=3.25R 
故小球离A点的高度范围：1.25R≤H≤3.25R
答：（1）若小球通过C点后恰好能打在A 点，小球经过C点时的速为

gR 2

．
（2）若小球通过C点后落到水平地面的AP之间，小球离A点的高度范围为1.25R≤H≤3.25R．

点评：知道物体的运动过程，根据物体的不同的运动状态，采用相应的物理规律求解即可．