Question

1．如图所示，两质量均为km的斜劈A和B，其中k=1、2、3…，静止放在光滑的水平面上，斜劈A和B的曲面光滑且为半径相同的四分之一圆面，圆面下端与水平面相切．一质量为m的小球位于两斜劈的中间某位置，现给小球水平向右的初速度v₀．
（1）当小球第一次从斜劈B滑下离开时，小球的速度是多大？
（2）若小球至少两次向右滑上斜劈B，求k的取值范围？

Answer 1

分析 （1）系统动量守恒，由动量守恒定律与机械能守恒定律求出速度．
（2）由动量守恒定律求出速度，然后根据题意确定k的值．

解答 解：（1）设小球第一次从斜劈B滑下离开时，小球和斜劈B的速度分别为v₁和v₂，以向右为正方向，由动量守恒可得：
mv₀=mv₁+kmv₂，
由机械能守恒可得：
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}kmv_2^2$，
联立解得小球速度为：${v_1}=\frac{1-k}{1+k}{v_0}$，斜劈B速度为：${v_2}=\frac{2}{1+k}{v_0}$；
（2）设小球第一次滑下离开斜劈A时，小球和斜劈A的速度分别为${v_1}^′$和${v_2}^′$，
以向右为正方向，由动量守恒可得：mv₀=mv₁+kmv₂，联立解得小球的速度：
$v_1^/=\frac{1-k}{1+k}{v_1}={（\frac{1-k}{1+k}）^2}{v_0}$，
若小球至少两次向右滑上斜劈B，则必有：$|{v_1^/}|＞{v_2}$，
化简得：k²-4k-1＞0，
解得：$k＞2+\sqrt{5}$，故k=5、6、7；
答：（1）当小球第一次从斜劈B滑下离开时，小球的速度是$\frac{1-k}{1+k}$v₀；
（2）若小球至少两次向右滑上斜劈B，k的取值范围是k=5、6、7．

点评 本题考查了动量守恒定律的应用，分析清楚物体运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．