Question

15．测试土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为R_A=1.2×10⁵Km和R_B=0.75×10⁴Km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用．
（1）求岩石颗粒A和B的周期之比．
（2）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出它在距土星中心3.2×10³Km处受到土星的引力为0.4N．已知地球半径为6.4×10³Km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

Answer 1

分析 （1）由万有引力提供向心力的周期表达式，可以得到AB的周期比值
（2）由地球上万有引力对终于的引力，和在土星空中受到的引力，两式联立可以解得土星与地球质量的关系．

解答 解：（1）万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$（{\frac{2π}{T}）}^{2}$R，解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$，
周期之比：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{2π\sqrt{\frac{{R}_{A}^{3}}{GM}}}{2π\sqrt{\frac{{R}_{B}^{3}}{GM}}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{A}^{3}}{{R}_{B}^{3}}}$=$\frac{64}{1}$；
（2）星球表面的物体受到的重力等于星球对物体的万有引力，
物体在地球表面时：mg=G$\frac{{M}_{地球}m}{{R}_{地球}^{2}}$，
物体绕土星运动时：F=G$\frac{{M}_{土星}m}{{R}_{土星}^{2}}$，
把：mg=10N，F=0.4N代入，解得：M_土星=100M_地球；
答：（1）岩石颗粒A和B的周期之比为64：1；
（2）土星质量是地球质量的100倍．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，要知道在你地球表面万有引力可以认为等于重力，虽然两者由微小差别，但是在天体运行中，我们多是这么样近似的．